கணிதத்தில் சமச்சீர்மை

ƒ(x) = x², இரட்டைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

f(x) , மெய்யெண் மாறியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு, இரட்டைச் சார்பு எனில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

f இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து x களுக்கும்,

${\displaystyle f(x)=f(-x).\,}$

இரட்டைச் சார்பின் வரைபடம் y-அச்சைப் பொறுத்து சமச்சீரானது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• தனிமதிப்புச் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=|x|}$
• ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$,
• ${\displaystyle f(x)=x^{4}}$
• முக்கோணவியல் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=cosx,}$
• அதிபரவளையச் சார்பு: ${\displaystyle f(x)=coshx,}$

ƒ(x) = x³, ஒற்றைச் சார்புக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு.

மெய்யெண் மாறியில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு f(x), ஒற்றைச் சார்பு எனில் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

f இன் ஆட்களத்திலுள்ள அனைத்து x களுக்கும்,

${\displaystyle -f(x)=f(-x),\,}$

அல்லது

${\displaystyle f(x)+f(-x)=0.\,}$

ஒற்றைச் சார்புகளின் வரைபடம் ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்து சமச்சீர் சுழற்சி கொண்டிருக்கும். அதாவது ஆதிப்புள்ளியைப் பொறுத்து 180 பாகைகள் சுழற்றப்படும்போது ஒற்றைச் சார்புகளின் வரைபடத்தில் எந்தவித மாற்றமும் இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• ${\displaystyle f(x)=x\,}$
• ${\displaystyle f(x)=x^{3}\,}$
• ${\displaystyle f(x)=sinx\,}$
• ${\displaystyle f(x)=sinhx\,}$
• பிழைச் சார்பு ${\displaystyle \operatorname {erf} (x)}$

ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் −A முதல் +A வரையிலான வரையறுத்த தொகையின் மதிப்பு பூச்சியமாகும். (A முடிவுறு மதிப்பு மற்றும் −A , A இவற்றுக்கிடையே இச்சார்புக்கு குத்து அணுகுகோடுகளே இல்லாமல் இருக்கவேண்டும்).

ஒரு இரட்டைச் சார்பின் −A முதல் +A வரையிலான வரையறுத்த தொகையின் மதிப்பு அச்சார்பின் 0 முதல் +A வரையிலான வரையறுத்த தொகையின் மதிப்பைப் போல இருமடங்காகும். (A முடிவுறு மதிப்பு மற்றும் −A , A இவற்றுக்கிடையே இச்சார்புக்கு குத்து அணுகுகோடுகளே இல்லாது இருக்க வேண்டும். தொகையீடு ஒருங்கும்போது மட்டும், A முடிவிலி மதிப்பு என்றாலும் இம்முடிவு உண்மையாக இருக்கும்).

• ஒரு இரட்டைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் இரட்டை அடுக்கு உறுப்புகளையே கொண்டிருக்கும்.
• ஒற்றைச் சார்பின் மெக்லாரின் தொடர் ஒற்றை அடுக்கு உறுப்புகளையே கொண்டிருக்கும்..
• ஒரு காலமுறை இரட்டைச் சார்பின் ஃபூரியே தொடர் கொசைன்உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
• ஒரு காலமுறை ஒற்றைச் சார்பின் ஃபூரியே தொடர் சைன்உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.

நேரியல் இயற்கணிதத்தில், ஒரு சதுர அணியானது அதன் இடமாற்று அணிக்குச் சமமாக இருந்தால் அது சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

சதுர அணி A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

${\displaystyle A=A^{\top }}$

இரு அணிகள் சமமாக இருக்கவேண்டுமானால் அவற்றின் வரிசைகள் (நிரைXநிரல்) சமமாக இருக்க வேண்டும் என்பதால் சதுர அணிகள் மட்டுமே சமச்சீர் அணிகளாக இருக்க முடியும்.

ஒரு சமச்சீர் அணியின் உறுப்புகள் அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருக்கும். எனவே,

A = (a_ij) அனியில்:

a_ij = a_ji (அனைத்து சுட்டுகள் i மற்றும் j மதிப்புகளுக்கும்)

கீழுள்ள 3×3 அணி சமச்சீரானது:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&7&3\\7&4&-5\\3&-5&6\end{bmatrix}}.}$

ஒரு மூலைவிட்ட அணியில் முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகள் தவிர்த்த பிற உறுப்புகள் பூச்சியமாக இருக்கும் என்பதால், ஒவ்வொரு மூலைவிட்ட அணியும் சமச்சீர் அணியாக இருக்கும். அதுபோலவே எதிர் சமச்சீர் அணியின் மூலைவிட்ட உறுப்புகள் தனக்குத்தாமே எதிரெண்ணாக இருக்க வேண்டுமென்பதால் அவை அனைத்தும் பூச்சியமாகும்.

n குறிகள் கொண்ட முடிவுறு கணத்தின் சமச்சீர் குலம் S_n என்பது அக்குறிகளின் வரிசைமாற்றங்களின் தொகுப்புச் செயலியுடன், அக்குறிகளின் வரிசைமாற்றங்களாலான குலமாகும். இவ்வரிசைமாற்றங்கள், குறிகளின் கணத்திலிருந்து அதே கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் இருவழிக்கோப்பாகக் கருதப்படும்.[8] n உறுப்புகளின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! (n தொடர் பெருக்கம்) என்பதால் இச்சமச்சீர் குலம் S_n இன் வரிசை (உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை) n! ஆகும்.

P(X₁, X₂, …, X_n) என்பது n மாறிகளில் அமைந்த ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவை. இப்பல்லுறுப்புக்கோவையின் மாறிகளில் ஒன்றை மற்றொன்றால் பதிலிட்டாலும் பல்லுறுப்புக்கோவையில் மாற்றமில்லையெனில் அது சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை எனப்படும்.

P(X₁, X₂, …, X_n) ஒரு சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் σ என்பது மாறிகளின் கீழொட்டுகளின் (1, 2, ..., n) ஏதாவதொரு வரிசைமாற்றம் எனில்:

P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

• இருமாறிகளிலமைந்த சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை (X₁, X₂):

${\displaystyle X_{1}^{3}+X_{2}^{3}-7}$

${\displaystyle 4X_{1}^{2}X_{2}^{2}+X_{1}^{3}X_{2}+X_{1}X_{2}^{3}+(X_{1}+X_{2})^{4}}$

• மூன்று மாறிகளிலமைந்த சமச்ச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவை (X₁, X₂, X₃):

${\displaystyle X_{1}X_{2}X_{3}-2X_{1}X_{2}-2X_{1}X_{3}-2X_{2}X_{3}\,}$

நுண் இயற்கணிதத்தில், தன்னமைவியம் (automorphism) என்பது ஒரு கணிதப் பொருளிலிருந்து அதே பொருளுக்கு அமையும் ஒரு சமவமைவியமாகும். ஒருவகையில் இது அப்பொருளின் சமச்சீர்மையாக அல்லது அப்பொருளின் அனைத்து அமைப்புகளையும் பாதுகாக்கும் கோப்பாக அமையும். ஒரு கணிதப் பொருளின் தன்னமைவியங்கள் அனைத்தும் ஒரு குலமாகும். இக்குலம் ”தன்னமைவியக் குலம்” என அழைக்கப்படும்.

• கணக் கோட்பாட்டில், X கணத்தின் உறுப்புகளின் ஏதேனுமொரு வரிசைமாற்றம் ஒரு தன்னமைவியமாகும். X கணத்தின் தன்னமைவியக் குலமானது X இன் மீதான சமச்சீர் குலம் எனவும் அழைக்கப்படும்.
• அடிப்படை எண்கணிதத்தில் முழு எண்களின் கணம் Z கூட்டலின் கீழ் ஒரு குலமாகும். மேலும் எதிராக்கம் (negation) இக்கணத்தின் தனித்ததொரு தன்னமைவியம். முழுஎண்களின் கணத்தை வளையமாகக் கொண்டால் அதற்கு அற்ப தன்னமைவியம் மட்டுமே உண்டு. எனவே பொதுவாக, எந்தவொரு பரிமாற்றுக் குலத்திற்கும் தன்னமைவியமாக இருக்கும்; ஆனால் வளையத்திற்கோ அல்லது களத்திற்கோ தன்னமைவியமாக இருக்காது.

கணிதத்தில், ஒரு கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு சமச்சீர் உறவு (symmetric) எனில், அவ்வுறவின்கீழ் அக்கணத்தில் உள்ள ஒவ்வொரு சோடி உறுப்புகளுக்கும், சோடியின் முதல் உறுப்புக்கு இரண்டாவது உறுப்புடன் உறவு உண்டெனில், இரண்டாவது உறுப்புக்கும் முதல் உறுப்புடன் உறவு இருக்கும்.

X கணத்தில் வரையறுக்கப்பட்ட ஈருறுப்பு உறவு R ஒரு சமச்சீர் உறவு எனில்:

${\displaystyle \forall a,b\in X,\ aRb\Rightarrow \;bRa.}$

சமச்சீர் உறவானது எதிர்சமச்சீர் உறவுக்கு நேர் எதிரானதல்ல என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.