குலத்தின் கிரமம் (கணிதம்)

ஒரு குலத்தின் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் ஒரு கிரமம் வரையறுக்கப்படலாம். ஓர் உறுப்பு ${\displaystyle a}$-இன் கிரமம் என்பது, ${\displaystyle a^{n}=e}$ என்ற சமன்பாட்டுக் குகந்தபடி உள்ள மீச்சிறு ${\displaystyle n}$ என்ற எண்ணிக்கை.

எ.கா. ${\displaystyle S_{3}}$ என்ற சமச்சீர் குலத்தைப் பார். இதன் கிரமம் 6. இதன் ஆறு உறுப்புகள்:

${\displaystyle (ab)(c),(bc)(a),(ca)(b),(abc),(acb),e.}$

இதனில் முதல் மூன்று உறுப்புகளின் 2-வது அடுக்கு ${\displaystyle e}$ ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 2.

அடுத்த இரண்டு உறுப்புகளின் 3-வது அடுக்கு ${\displaystyle e}$ ஆகிறது. அதனால் அவைகளின் கிரமம் 3.

${\displaystyle e}$-இன் கிரமம் 1.

${\displaystyle G}$ ஒரு சுழற்குலமானால் அது, ${\displaystyle \{a,a^{2},a^{3},....\}}$ என்ற உருவத்தில் இருக்கும். இங்கு ${\displaystyle a}$ என்பது அச்சுழற்குலத்தின் பிறப்பி. எந்த எண் ${\displaystyle n}$ க்காவது ${\displaystyle a^{n}=e}$ யாக இருக்குமானால், ${\displaystyle n}$-இன் மீச்சிறு மதிப்பு, ${\displaystyle a}$-இனுடைய கிரமம். அதுவே சுழற்குலத்தின் கிரமமுமாகும்.

ஆக, ஒரு முடிவுறு சுழற்குலத்தின் கிரமமும் அதன் பிறப்பியின் கிரமமும் ஒன்றே.

எந்த எண் ${\displaystyle n}$ க்கும் ${\displaystyle a^{n}=e}$ உண்மையல்லவென்றால், அக்குலம் ஒரு முடிவுறா சுழற்குலமாகும்.