கணித அமைப்பு

இதை எடுத்துக் காட்டுகள் மூலம் தான் விவரிக்க வேண்டி யிருக்கிறது.

எல்லா மெய்யெண்களின் கணம் R என்று கொள்க. அவ்வெண்களில் தன்னியல்பாக உள்ள கூட்டல் செயல் ‘+’ என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப் படுவதாகக் கொள்வோம் . இப்பொழுது, x, y, z என்பவை R இல் உள்ள எந்த உறுப்புகளானாலும்,

x + y எப்பொழுதும் R இலேயே இருக்கும் ... (a)

(x + y) + z = x + (y + z) ... (b)

x + y = y + x ... (c)

R இல் ‘0’ என்ற ஓர் உறுப்பு கீழுள்ள இயல்புடன் உளது:

0 + x = x + 0 . ... (d)

R இல் ‘-x’ என்ற ஓர் உறுப்பு கீழுள்ள இயல்புடன் உளது:

x + (-x) = 0 = (-x) + x … (e)

இவ்வைந்து விதிகளும் ஏதோ மிக எளிமையான, அற்பமான கூற்றாக முதலில் தோன்றலாம். ஆனால் அதனுள்ளே பொதிந்திருக்கும் கருத்து இனிமேல்தான் விளங்கும்.

இப்பொழுது எல்லா நேர்ம மெய்யெண்களின் கணம் R⁺ ஐ எடுத்துக்கொள்க. அவ்வெண்களில் தன்னியல்பாக உள்ள பெருக்கல் செயல் ‘.’ (புள்ளி) என்ற குறியீட்டால் குறிக்கப் படுவதாகக் கொள்வோம். இப்பொழுது x, y, z R⁺ இல் என்னவாக இருந்தாலும்,

x . y எப்பொழுதும் R⁺ இல் இருக்கும் ... (A)

(x . y) . z = x . (y . z) ... (B)

x . y = y . x ... (C)

R⁺ இல் ‘1’ என ஒரு உறுப்பு கீழே உள்ள இயல்புடன் உளது:

1 . x = x = x . 1 ... (D)

R⁺ இல் ‘x^-1’ என ஒரு உறுப்பு கீழே உள்ள இயல்புடன் உளது:

x . x^-1 = 1 = x^-1 . x ... (E)

இவைகளும் மிக எளிதான அற்பமான கூற்றுகளாகத் தோன்றலாம். ஆனால் (a) இலிருந்து (e) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுகளையும் (A) இலிருந்து (E) வரையிலுள்ள ஐந்து கூற்றுக்களோடு ஒப்பிட்டுப் பார்த்தால் முதல் ஐந்தும் பின் ஐந்தும் ஒரே ‘அமைப்பில்’ இருப்பதை அறியலாம். இருந்தாலும் ஒரு விதிவிலக்கு உள்ளது. முதலைந்திலிருந்து இரண்டாவது ஐந்து ஒரு விதத்தில் மாறுபடுகிறது. முந்தையதிலுள்ள,

R, ‘+’, ‘0’ , ‘-x’

ஆகிய நான்கின் இடத்தில், பிந்தையதில் முறையே

R⁺, ‘.’ , ‘1’, ‘x^-1’

ஆகியவைகள் வைக்கப்பட்டிருக்கின்றன. இந்த மாற்றத்தைத்தவிர, இரண்டு ‘அமைப்புகளும்’ ஒரே மாதிரி தான். இதைத்தான் கணிதத்தில் ‘அமைப்பு’ (Structure) என்ற கலைச் சொல்லால் குறிப்பிடுகிறார்கள். முதல் வகையில் நாம் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘ R க்கு கொடுக்கப்பட்ட கூட்டல் அமைப்பு’ என்றும் இரண்டாவது வகையில் பார்த்த அமைப்பிற்கு ‘R⁺க்குக் கொடுக்கப்பட்ட பெருக்கல் அமைப்பு’ என்றும் சொல்லல் தகும்.

இவ்விதம் இரு அமைப்புகள், பெயர் மாற்றம் என்பதைத் தவிர மற்றபடி ஒரே விதிகளுக்குட்பட்டிருந்தால் அவ்விரண்டு அமைப்புகளும் ஓருரு அமைவுடையவை (Isomorphic) என்று சொல்லப்படும்.

.

உண்மையில் ‘கூட்டல்’ அல்லது ‘பெருக்கல்’ என்ற பெயர்கள் கூட தேவையில்லை. மேலே விவரிக்கப்பட்ட கணித அமைப்பை பின்வருமாறு பொதுமைப்படுத்தலாம். வேண்டியதெல்லாம் ஒரு கணமும் அதில் ஒரு செயல்முறையும் (Operation) தான். செயல்முறை என்றால் அக்கணத்திலிருக்கும் எந்த இரு உறுப்புகளில் அச்செயல்முறை செயல்பட்டாலும் அதன் முடிவு தனித்த (unique) ஒரு உறுப்பாக அதே கணத்திற்குள் இருக்கும். இச்செயலை ஈருறுப்புச் செயல் என்றும் சொல்வார்கள்.

G என்ற கணமும் அதில் ‘*’ என்ற செயலும் கொடுக்கப் பட்டு, அவை கீழேயுள்ள ஐந்து விதிகளை பின்பற்றுவதாகவும் கொள்வோம்:

‘*’ ஓர் ஈருறுப்புச்செயல் (closure); அ-து, x, y G'' இல் இருந்தால், x * y ம், G இல் இருக்கும். ... (G1)

‘*’ ஒரு சேர்ப்பு விதி; அ-து, x, y, z G இல் இருந்தால், (x * y) * z = x * (y * z) … (G2)

‘*’ ஒரு பரிமாற்று விதி (commutativitity); அ-து, x, y G இல் இருந்தால் x * y = y * x … (G3)

G இல் ஒரு முற்றொருமை (Identity) உளது; அ-து, G இல் ‘e’ என்ற ஒரு உறுப்பு கீழேயுள்ள இயல்புடன் உளது:

x * e = x = e * x … (G4)

G இல் உள்ள ஒவ்வொரு x க்கும், ஒரு நேர்மாறான உறுப்பு உளது; அ-து, ஒவ்வொரு x க்கும் ஒரு x^-1 கீழேயுள்ள இயல்புடன் உளது:

x * x^-1 = e = x^-1 * x … (G5)

ஏதாவது G என்ற ஒரு கணம் ஒரு ‘*’ என்ற செயல் முறையுடன் (G1) இலிருந்து (G5) வரையுள்ள ஐந்து விதிகளுக்கும் உட்படுமானால் அந்த G க்கு ‘குலம்’ (Group) என்று பெயர்.

R, ‘+’ என்ற கூட்டல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது.

R⁺, ‘.’ என்ற பெருக்கல் செயலுடன், ஒரு குலம் ஆகிறது.

இவ்விரண்டு எடுத்துக்காட்டுகளும் ‘முடிவில்லாத குலங்கள்’ ஆகும். ஏனென்றால் அவைகள் சார்ந்திருக்கும் அடிப்படை கணங்களான R ம், R⁺, ம் முடிவில்லாத கணங்கள்.

முடிவுள்ள குலங்கள் மிகப்பல இருக்கின்றன.

(G3) மாத்திரம் இல்லாமல், மற்ற நான்கு விதிகளுக்கும் உட்பட்டு இருக்கும் ஒரு G என்ற கணம் (அதன் ‘*’ என்ற செயலுடன்) ஒரு 'பரிமாறாக்குலம் ' (Non-commutative Group) என்று சொல்லப் படும். இதிலிருந்து பிரித்துப்பேசுவதற்காக நாம் மேலே சொன்ன குலத்தை ‘பரிமாற்றுக் குலம்’ (Commutative Group) என்றும் சொல்வதுண்டு. ‘ஏபீலியன் குலம்’ (Abelian Group) அதற்கு இன்னொரு பெயர். ‘ஏபெல்’ (1802 - 1829) என்ற கணித வல்லுனர் முதன்முதல் இதை அறிமுகப்படுத்தினார்.

இரு அமைப்புகள் (கணிதத்திலோ அல்லது இயற்பியல் முதலிய இதர துறைகளிலோ) ஓருரு அமைவுடையவை என்று அடையாளம் காட்டுவதற்கு மாத்திரம் அமைப்பு என்ற கருத்து ஏற்படவில்லை. கணிதத்திலேயே பல உட்துறைகளிலும், பல பிரச்சினைகளிலும் தொடரப்படும் வாதங்களிலுள்ள ஒற்றுமையை பயன் படுத்தி அவைகளை பண்பளவில் உயர்த்தி, அவ்வுயர்ந்த தளத்தில் செய்யப்படும் ஒரே வாதத்தினால் கீழ்த்தளத்திலுள்ள பல சந்தர்ப்பங்களுக்கும் ஒரே அடியில் முடிவு சொல்ல பயன் பட்டது. இதற்கு ஒரு எளிய எடுத்துக்காட்டைப் பார்ப்போம்.

கெய்லி(1821 - 1895) என்னும் கணிதவியலாளர் ஒவ்வொரு அணிக்கும் நேர்மாற்று அணி தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்று நிறுவினார். வகையீட்டுச் சமன்பாடுகளில் (Differential Equations) பல சந்தர்ப்பங்களில் காலப்போக்கில் வேறு வேறு கணித ஆய்வாளர்கள் அந்தந்த சமன்பாடுகளுக்கு அவர்கள் கண்டுபிடித்த விடைகள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை என்று பல்வேறு முறைகளைக் கையாண்டு நிறுவினர். இவைகளெல்லாமே ஒரே வாதத்தின் நிழல்கள்தாம் என்பது ‘குலம்’ என்ற அமைப்பை ஆராய்ந்தபோது தெரிய வந்தது.

ஒரு குலத்தில் ஒவ்வொரு உறுப்பிற்கும் நேர்மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மை வாய்ந்தது என்ற நிறுவல் மேற்சொன்ன பல நிறுவல்களையும் ஒன்று படுத்துகிறது. அந்த உயர்தள நிறுவலைக் கீழே காணலாம்.

x’ , x’’ இரண்டு உறுப்புகள் G இல் x இன் மாற்றுறுப்பு x^-1 இனுடைய இயல்பாகிற (G5) ஐ பெற்றிருக்கு மானால்,

x’ * x = e = x * x’ மற்றும், x’’ * x = e = x * x’’ ஆக,

x’ = e * x’ = (x’’ * x ) * x’ = x’’ * (x * x’) = x’’ * e = x’’.

இதனால் நமக்குத்தெரிவது, குலம் G இல் ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் உள்ள மாற்றுறுப்பு தனித்தன்மையுடையது. ஒவ்வொரு உறுப்புக்கும் மாற்றுறுப்பு இருக்கவேண்டும் என்பது ‘குலம்’ என்பதன் வரையறை. அம்மாற்றுறுப்பு ஒன்றுக்குமேல் இருக்கமுடியாது என்பது குலத்தின் ஐந்து விதிகளிலிருந்து உருவாகும் ஒரு கிளைத்தேற்றம். இன்னும் பற்பல தேற்றங்கள் உருவாகலாம். இந்த வழியில் ‘குலம்’ என்பதை பண்பியல் தளத்தில் ஆராய்ச்சி செய்ததால் கிடைத்த முடிவுகள் எல்லாம் சேர்ந்து தான் குலக் கோட்பாடு (Group Theory) என்று கணிதத்தின் ஒரு பெரிய கிளைத்துறையாக இன்று நடமாடுகிறது.

இவ்வாறு ஒரு நுண்புலப்பொருளான ‘குலம்’ என்பதன் விதிகளிலிருந்து பண்பியல் தளத்தில் ஆய்ந்து அடையப்படும் முடிவுகளை கீழ்த்தளத்திலுள்ள எல்லா தனிப்பட்ட துறைகளிலும், அதாவது, எந்தெந்த துறைகளில் எந்தெந்த சந்தர்ப்பங்களில் ‘குலம்’ என்ற அமைப்பைக் கண்டு கொள்கிறோமோ அந்தந்த சந்தர்ப்பங்களிலெல்லாம், அந்த முடிவுகளைத் தனிப்படுத்தினால், நமக்கு ஒரே சமயத்தில் வெவ்வேறு பிரச்சினைகளில் அநேகச் சிறப்பு விளைவுகள் கை சொடுக்கும் நேரத்தில் கிடைக்கும் வாய்ப்புக்கள் உண்டு. இப்படி உண்டென்பதும், இதனால் கணித உட்துறைகளிலும் மற்றும் இயற்பியலிலும் ஏராளமான புது விளைவுகளை நேரில் கண்டறிந்ததும், இருபதாவது நூற்றாண்டின் அறிவியல் சாதனைகளில் முக்கியமான ஒன்று.

குலம் என்பது ஒரு அமைப்பு தான். இன்னும் கணிதத்தில் பல அமைப்புகள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டு அவைகளும் சீரிய முறையில் வரையறுக்கப்பட்டு, பயன் படுத்தப் பட்டிருக்கின்றன. அவ்வமைப்புகளில் முக்கியமானவைகளுடைய பட்டியல்:

• வளையம் (Ring);
• களம் (Field);
• சேர்ப்பற்ற வளையம் (Non-associative Ring);
• இடவியல் (Topology);
• பரப்புரு குலம் அல்லது இடவியற்குலம் (Topological Group);
• கலம் (Module);
• திசையன் வெளி (Vector Space);
• பன்மடிவெளி (Manifold);
• பானக் வெளி (Banach Space);
• லீ குலம் (Lie Group);

மற்றும் பல.

• கணம் (கணிதம்) - set
• உறுப்பு - elements
• செயல்முறை - operations
• முற்கோள் -axiom
• இயற்கணிதம் - algebra -
• இரும இயற்கணிதம் அல்லது ஈருறுப்பு இயற்கணிதம் - binary algebra

கணிதக் கலைச்சொற்கள் (தமிழ் அகர வரிசையில்)

கணிதக் கலைச்சொற்கள் (ஆங்கில அகர வரிசையில்)

• E.T. Bell. (1945) Development of Mathematics. 2nd edn. McGrawHill, New York.
• V. Krishnamurthy. (1990). Culture, Excitement and Relevance of Mathematics. Wiley Eastern Ltd. New Delhi. ISBN 81-224-0272-0
• Edna Kramer. (1983) Nature and Growth of Modern Mathematics. Princeton University Press. ISBN 0691023727