இடமாற்று அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஓர் அணியின் இடமாற்று அல்லது இடமாற்று அணி அல்லது நிரை-நிரல் மாற்று அணி (transpose) என்பது மூல அணியின் நிரைகளை நிரல்களாகவும் நிரல்களை நிரைகளாகவும் இடம் மாற்றுவதால் பெறப்படும் அணியாகும். A என்ற அணியின் இடமாற்று அணியின் குறியீடு: A^T ஆகும். இடமாற்று அணி A′, A^tr, ^tA A^t எனவும் குறிக்கப்படுகிறது. பின்வரும் செயல்களில் ஏதேனுமொன்றின் மூலம் இடமாற்று அணியைப் பெறலாம்:

A அணியை அதன் முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தல்
A இன் நிரைகளை நிரல்களாக எழுதுதல்
A இன் நிரல்களை நிரைகளாக எழுதுதல்

A அணியை முதன்மை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளிப்பதால் அதன் இடமாற்று அணி A^T ஐப் பெறலாம். மீண்டும் A^T ஐ மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து எதிரொளித்தால் மூல அணி A கிடைக்கும்.

இடமாற்று அணி A^T இன் i ஆவது நிரையிலும் j ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பானது, மூல அணியான A இன் j ஆவது நிரையிலும் i ஆவது நிரலிலுமுள்ள உறுப்பாக இருக்கும்:

[\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }]_{ij}=[\mathbf {A} ]_{ji}

A இன் வரிசை m × n எனில், A^T இன் வரிசை n × m ஆகும்.

1858 இல் பிரித்தனிய கணிதவியலாளர் ஆர்தர் கெய்லி, இடமாற்று அணியை அறிமுகப்படுத்தினார்.[1]

எடுத்துக்காட்டுகள்

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

பண்புகள்

A, B இரு அணிகள்; c ஒரு திசையிலி எனில், இடமாற்று அணி பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \quad \,$
இடமாற்று காணும் செயல் ஒரு சுருள்வு ஆகும். அதாவது தன்-நேர்மாறு ஆகும்.
$(\mathbf {A} +\mathbf {B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\,$
$\left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
இப்பண்பில் அணிகளின் இடங்கள் திருப்பியமைவதைக் காணலாம். எனவே A^T நேர்மாற்றத்தகதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, சதுர அணி A நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும்.

(A⁻¹)^T = (A^T)⁻¹. :(A₁A₂...A_k−1A_k)^T = A_k^TA_k−1^T...A₂^TA₁^T.
$(c\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=c\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,$
$\det(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\det(\mathbf {A} )\,$
ஒரு சதுர அணி மற்றும் அதன் இடமாற்று அணி இரண்டின் அணிக்கோவைகளும் சமம்.
a , b என்பன இரு நிரல் திசையன்கள் எனில், அவற்றின் புள்ளிப் பெருக்கல் a இன் இடமாற்று அணி, b அணி இரண்டின் பெருக்கலுக்குச் சமமாகும்.
$\left[\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} \right]=\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b} ,$
$(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}=(\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }\,$
நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இடமாற்றும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்கும். மேலும் இடமாற்று அணியின் நேர்மாறு மூல அணியின் நேர்மாறின் இடமாற்று அணியாக இருக்கும். A^−T குறியீடும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.
$\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ ஒரு சமச்சீர் அணியாகும்.[2]

சிறப்பு வகைகள்

ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியாகவே இருக்குமானால் அச்சதுர அணி சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு சமச்சீர் அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A}

ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணி மூல அணியின் எதிர் அணியாக இருக்குமானால் அச்சதுர அணி எதிர் சமச்சீர் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் சமச்சீர் அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-\mathbf {A}

சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு ஹெர்மைட் அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} }}

சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியின் உறுப்புகள், ஒத்த மூலஅணியின் ஒத்த உறுப்புகளின் எதிர் இணைச் சிக்கலெண்களாக இருந்தால் அம்மூலச் சதுர அணியானது எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனப்படும்.

A ஒரு எதிர் ஹெர்மைட் அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}

ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி செங்குத்து அணி ஆகும்.

A செங்குத்து அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1}

சிக்கலெண் உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணியின் இடமாற்று அணியானது மூல அணியின் இணை நேர்மாறுக்குச் சமமாக இருந்தால் அந்த மூலச் சதுர அணி அலகுநிலை அணி ஆகும்.

A அலகுநிலை அணி எனில்:

\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}

மேற்கோள்கள்

Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.
"Is a matrix multiplied with its transpose something special?" Proof in answer on StackExchange.com,

மேலதிக வாசிப்புக்கு

Maruskin, Jared M. (2012). [[[கூகுள் புத்தகங்கள்|கூகுள் புத்தகங்களில்]] இடமாற்று அணி Essential Linear Algebra]. San José: Solar Crest. பக். 122–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-9850627-3-6. கூகுள் புத்தகங்களில் இடமாற்று அணி.
Schwartz, Jacob T. (2001). [[[கூகுள் புத்தகங்கள்|கூகுள் புத்தகங்களில்]] இடமாற்று அணி Introduction to Matrices and Vectors]. Mineola: Dover. பக். 126–132. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-42000-0. கூகுள் புத்தகங்களில் இடமாற்று அணி.

வெளியிணைப்புகள்

MIT Linear Algebra Lecture on Matrix Transposes
Transpose, mathworld.wolfram.com
Transpose, planetmath.org
Khan Academy introduction to matrix transposes

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Arthur Cayley (1858) "A memoir on the theory of matrices," Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 148 : 17-37. The transpose (or "transposition") is defined on page 31.

[2] "Is a matrix multiplied with its transpose something special?" Proof in answer on StackExchange.com,