அணிக்கோவை

இணைகரத்தின் இரு பக்கங்களைக் குறிக்கும் வெக்டர்கள் அமைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையின் தனிமதிப்பு இணைகரத்தின் பரப்பளவாகும்.

2 x 2 அணியின் அணிக்கோவை,

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc\ }$ என வறையறுக்கப்படுகிறது.

A அணியின் உறுப்புகள் மெய்யெண்களாக இருந்தால் அந்த அணி , இரு நேரியல் கோப்புகளைக் குறிப்பதாகக் கொள்ளலாம். ஒரு கோப்பு, திட்ட அடிப்படைத் திசையன்களை A ன் நிரைகளாகவும் மற்றொன்று A ன் நிரல்களாகவும் மாற்றும் கோப்புகளாகும். இரண்டிலுமே அடிப்படை வெக்டர்களின் பிம்பங்கள் ஒரு இணைகரத்தினை அமைக்கும்.இந்த இணைகரமானது இக்கோப்புகளின் கீழ் உருமாறிய ஓரலகு சதுரத்தின் பிம்பமாக அமையும்.

அணியின் நிரைகளால் அமையும் இணைகரத்தின் உச்சிப்புள்ளிகள், (0,0), (a,b), (a + c, b + d), மற்றும் (c,d). ad – bc ன் தனிமதிப்பு இணைகரத்தின் பரப்பாகும். மேலும் இம்மதிப்பு A ன் கீழ் உருமாறிய பரப்பின் மாற்றத்தின் அளவைக் குறிக்கும். (A ன் நிரல்களால் அமைக்கப்படும் இணைகரம் வேறாக இருந்தாலும் அணிக்கோவையானது நிரை, நிரலைப் பொறுத்த சமச்சீர்தன்மை (symmetry) கொண்டுள்ளதால் இரண்டு இணைகரங்களின் பரப்பும் சமமாகவே இருக்கும்.)

அணிக்கோவையின் தனி மதிப்புடன் குறியினைச் சேர்க்கும் பொழுது அது இணைகரத்தின் திசைப்போக்குடைய பரப்பினைக் குறிக்கிறது. திசைப்போக்குடைய பரப்பு என்பது வழக்கமான வடிவவியல் பரப்புதான். ஆனால் இணைகரத்தை உருவாக்கும் இரு வெக்டர்களில் முதல் வெக்டரிலிருந்து இரண்டாவது வெக்டருக்கான கோணம் கடிகாரதிசைக்கு எதிர்த்திசையில் அமையும்போது மட்டும் பரப்பின் குறி, குறைக்குறியாக அமையும்.

எனவே அணிக்கோவையின் மதிப்பு, A அணியின் கீழ் அமையும் உருமாற்றத்தின் அளவையும் திசைப்போக்கையும் தருகிறது. அணிக்கோவையின் மதிப்பு 1 எனில் இந்த உருமாற்றமானது திசைமாறா சமபரப்பு உருமாற்றமாகிறது.

r1, r2, r3 நிரைகளால் ஆன அணியின் அணிக்கோவையின் தனிமதிப்பு இணைகரத்திண்மத்தின் (Parallelepiped) கன அளவு.

3×3 அணியின் அணிக்கோவை:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei+bfg+cdh-afh-bdi-ceg.\ }$

ஒரு 3x3 அணியின் அணிக்கோவையை மூலைவிட்டங்களின் மூலம் கணக்கிடலாம்.

இந்த சூத்திரத்திற்கான ஒரு சுருக்கு வழி, சாரஸ் விதியாகும் (sarrus rule).

இந்த விதிப்படி, படத்தில் உள்ளவாறு அணியின் மூன்று நிரைகளையும் நிரல்களையும் அதே வரிசையில் எடுத்துக்கொண்டு அதற்கு வலப்புறம் மீண்டும் முதல் இரு நிரல்களயும் எழுதிக்கொள்ள வேண்டும். பின்பு வடமேற்கு மூலைவிட்டங்களின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து, தென்கிழக்கு மூலைவிட்டங்களின் உறுப்புகளின் பெருக்குத்தொகைகளின் கூட்டுத்தொகையைக் கழித்தால் இந்த அணிக்கோவையின் மதிப்பு கிடைக்கும்.

இந்த சூத்திரம் மூன்றாம் வரிசை அணிக்கு மட்டுமே பொருந்தும். உயர்வரிசை அணிகளுக்குப் பொருந்தாது.

(எ.கா)

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}$ எனில்,

${\displaystyle \det(A)\,}$	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle ((-2)\cdot 1\cdot (-1))+(2\cdot 3\cdot 2)+(3\cdot (-1)\cdot 0)}$
		${\displaystyle -\,(2\cdot 1\cdot 3)-(0\cdot 3\cdot (-2))-((-1)\cdot (-1)\cdot 2)}$
	${\displaystyle =\,}$	${\displaystyle 2+12+0-6-0-2=6\,}$

எல்லா வரிசையுடைய அணியின் அணிக்கோவையையும் லீபினிட்சு சூத்திரம் அல்லது லாப்லாசு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

n x n அணி A ன் அணிக்கோவை காணப் பயன்படும் லீபினிட்சு சூத்திரம்:

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}.\ }$

 σ என்பது {1, 2, ..., n}. என்ற கணத்தின் வரிசைமாற்றங்களைக் குறிக்கும். வரிசைமாற்றம் என்பது முழுஎண்கணத்தின் வரிசைகளை மாற்றும் ஒரு கோப்பாகும். i என்ற உறுப்பின் இடவரிசை σ வினால் வரிசைமாற்றம் செய்யப்பட்டபின் σ_i எனக் குறிக்கப்படும். எடுத்துக்காட்டாக n = 3 எனில், 1, 2, 3 என்ற ஆரம்ப வரிசை S = [2, 3, 1], S₁ = 2, S₂ = 3, S₃ = 1 என வரிசைமாற்றம் செய்யப்படலாம் . அத்தகைய வரிசை மாற்றங்கள் அனைத்தும் கொண்ட கணத்தின் குறியீடு S_n. இக்கணம் n உறுப்புகளின் மீதான சமச்சீர் குலமாகும்.

sgn(σ) என்ற குறியீடு σ ன் குறியினைக் குறிக்கும். ஒவ்வொரு வரிசைமாற்றத்திற்கும் குறி (+ 1அல்லது - 1) உண்டு. σ ஒற்றை வரிசைமாற்றமாக இருந்தால் sgn(σ) ன் மதிப்பு – 1 ஆகவும் σ இரட்டை வரிசைமாற்றமாக இருந்தால் sgn(σ) ன் மதிப்பு + 1 ஆகவும் இருக்கும். மூலவரிசையிலிருந்து இரட்டை (ஒற்றை) எண்ணிக்கையிலான மாற்றங்களால் புதுவரிசைப் பெறப்படும்போது அந்த வரிசைமாற்றம், இரட்டை (ஒற்றை) வரிசைமாற்றம் எனப்படும். [1, 2, 3] → [2, 1, 3] → [2, 3, 1], என்பதில் மாற்றங்களின் எண்ணிக்கை இரண்டு என்பதால் இது இரட்டை வரிசைமாற்றம். [1, 2, 3] → [1, 3, 2] → [3, 1, 2] → [3, 2, 1] , என்பதில் மொத்த மாற்றங்கள் மூன்று என்பதால் இது ஒற்றை வரிசைமாற்றமாகும். ஒரு வரிசைமாற்றம் ஒரே சமயத்தில் இரட்டை மற்றும் ஒற்றை வரிசைமாற்றமாக இருக்க முடியாது.

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}\ }$ என்பது

${\displaystyle A_{1,\sigma _{1}}\cdot A_{2,\sigma _{2}}\cdots A_{n,\sigma _{n}}.\ }$ என்ற பெருக்குத்தொகையைக் குறிக்கும்.

எடுத்துக்காட்டாக, n = 3 எனில் அணி மூன்றாம் வரிசை அணியாகும்.

அதன் அணிக்கோவை லீபினிட்சு சூத்திரப்படி,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma _{i}}&=\operatorname {sgn}([1,2,3])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[1,2,3]_{i}}+\operatorname {sgn}([1,3,2])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[1,3,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([2,1,3])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[2,1,3]_{i}}\\&+\operatorname {sgn}([2,3,1])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[2,3,1]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,1,2])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[3,1,2]_{i}}+\operatorname {sgn}([3,2,1])\prod _{i=1}^{n}A_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=\prod _{i=1}^{n}A_{i,[1,2,3]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}A_{i,[1,3,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}A_{i,[2,1,3]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}A_{i,[2,3,1]_{i}}+\prod _{i=1}^{n}A_{i,[3,1,2]_{i}}-\prod _{i=1}^{n}A_{i,[3,2,1]_{i}}\\&=A_{1,1}A_{2,2}A_{3,3}-A_{1,1}A_{2,3}A_{3,2}-A_{1,2}A_{2,1}A_{3,3}+A_{1,2}A_{2,3}A_{3,1}+A_{1,3}A_{2,1}A_{3,2}-A_{1,3}A_{2,2}A_{3,1}\end{aligned}}}$

இது சாரஸ் விதிப்படி கிடைக்கும் மதிப்பிற்குச் சமமானதாக உள்ளது.

கிராமரின் விதிப்படி,

${\displaystyle Ax=b\,}$ என்ற அணிச் சமன்பாட்டின் தீர்வு:

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n\,}$

இங்கு A_i என்பது, அணி A -ன் i -ஆம் நிரலுக்குப் பதில் நிரல் வெக்டர் b -ஐப் பிரதியிடுவதால் கிடைக்கும் அணியாகும்.