சிற்றணிக்கோவை

A ஒரு சதுர அணி எனில் அதன் i-வது நிரை மற்றும் j-வது நிரலிலில் உள்ள உறுப்பின் சிற்றணிக்கோவை ((i,j) சிற்றணிக்கோவை அல்லது முதல் சிற்றணிக்கோவை)[1]) என்பது A அணியின் i-ஆவது நிரையையும் j-ஆவது நிரலையும் நீக்கிவிடக் கிடைக்கும் அணியின் அணிக்கோவையாகும்.[2] (i,j) சிற்றணிக்கோவையின் குறியீடு M_i,j

பொதுவான வரையறை

A ஒரு m × n அணி; k ஒரு முழு எண்; 0 < k ≤ m, k ≤ n எனில்:

A இன் k × k சிற்றணிக்கோவை என்பது A அணியிலிருந்து m − k நிரைகளையும் n − k நிரல்களையும் நீக்கிய பின் கிடைக்கும் k × k அணியின் அணிக்கோவையாகும்.

குறியிடப்பட்ட சிற்றணிக்கோவைகள் இணைக்காரணிகள் என அழைக்கப்படும்.

(i,j) சிற்றணிக்கோவையை ${\displaystyle (-1)^{i+j}}$ ஆல் பெருக்கக் கிடைப்பது (i,j) இணைக்காரணியாகும். இதன் குறியீடு C_i,j.

${\displaystyle \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}.\,}$

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}$

மேலுள்ள அணியில் சிற்றணிக்கோவை M₂₃ காண்பதற்கு அந்த அணியிலிருந்து இரண்டாவது நிரையும் மூன்றாவது நிரலும் நீக்கப்பட்டு மீதமாகும் அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு கணக்கிடப்படுகிறது.

${\displaystyle M_{23}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13}$

இதற்குரிய இணைக்காரணி C₂₃:

${\displaystyle \ C_{23}=(-1)^{2+3}(M_{23})=-13.}$

ஒரு அணியின் அனைத்து உறுப்புகளை அவற்றின் இணைக்காரணிகளைக் கொண்டு பதிலிடக் கிடைப்பது அவ்வணியின் இணைக்காரணி அணி எனப்படும். இணைக்காரணி அணியின் குறியீடு ${\displaystyle \mathbf {C} }$

3 x 3 பொது அணியின் இணைக்காரணி அணி

${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}}$

இதன் இணைக்காரணி அணி:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\c_{31}&c_{32}&c_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle n\times n}$ அணி ${\displaystyle (a_{ij})}$ எனில்

A இன் அணிக்கோவையின் (det(A)) jth நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{1j}C_{1j}+a_{2j}C_{2j}+a_{3j}C_{3j}+...+a_{nj}C_{nj}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}C_{ij}}$

A இன் அணிக்கோவையின் (det(A)) ith நிரல் மூலமான இணைக்காரணி விரிவு:

${\displaystyle \ \det(\mathbf {A} )=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+a_{i3}C_{i3}+...+a_{in}C_{in}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}C_{ij}}$

கிரமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் இணைக்காரணிகளைக் கண்டுபிடித்து அவ்வணியின் நேர்மாறு அணியைக் காணலாம்.

இணைக்காரணிகளாலான அணி:

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&\cdots &C_{1n}\\C_{21}&C_{22}&\cdots &C_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\C_{n1}&C_{n2}&\cdots &C_{nn}\end{bmatrix}}}$

A அணியின் இணைக்காரணி அணியின் (${\displaystyle \mathbf {C} }$) இடமாற்று அணி, A இன் சேர்ப்பு அணி எனப்படும்.

A அணியின் நேர்மாறு அணி:

${\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (\mathbf {A} )}}\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}.}$

மெய்யெண்களாலான m × n அணியின் தரம் r எனில் அவ்வணிக்கு, குறைந்தபட்சம் ஒரு பூச்சியமில்லா r × r சிற்றணிக்கோவையும், பிற மேல்வரிசை சிற்றணிக்கோவைகள் அனைத்தும் பூச்சியமாகவும் இருக்கும்.