நேர்மாற்றத்தக்க அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு n x n சதுர அணி A நேர்மாற்றத்தக்கது (invertible) எனில், கீழ்வரும் கட்டுப்பாட்டை நிறைவுசெய்யும் வகையில் ஒரு n x -n சதுர அணி B ஐப் பெற்றிருக்க வேண்டும்:

\mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},\,

I_n ஒரு nxn முற்றொருமை அணி

இக்கட்டுப்பாட்டை நிறைவு செய்யும் B அணியானது A இன் நேர்மாறு அல்லது நேர்மாறு அணி (inverse) எனப்படும். மேலும் A அணியின் நேர்மாறின் குறியீடு A⁻¹.

நேர்மாற்ற முடியாத சதுர அணி வழுவுள்ள அணி அல்லது வழு அணி எனப்படும். ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சதுர அணி வழுவுள்ள அணியாக இருக்கும்.

செவ்வக அணிகளுக்கு (mx n வரிசையுடைய அணிகள்) நேர்மாறு அணி கிடையாது. எனினும் முழுத்தரம் (full rank) கொண்ட சதுரமில்லா அணிகள் ஒருபக்க நேர்மாறு (இடது நேர்மாறு அல்லது வலது நேர்மாறு) கொண்டவை.[1]

A ஒரு m x n வரிசை அணி; A இன் தரம் n எனில், A அணிக்கு இடது நேர்மாறு உண்டு. அதாவது BA = I என்பதை நிறைவு செய்யும் n x m வரிசையுடைய B அணியைக் காணமுடியும்.

A:m\times n\mid m>n

என்ற அணியின் இடது நேர்மாறு:

\underbrace {(A^{T}A)^{-1}A^{T}} _{A_{\text{left}}^{-1}}A=I_{n}

A இன் தரம் m எனில், A அணிக்கு வலது நேர்மாறு உண்டு. அதாவது AB = I என்பதை நிறைவு செய்யும் n x m வரிசையுடைய B அணியைக் காணமுடியும்.

A:m\times n\mid m<n

என்ற அணியின் வலது நேர்மாறு:

A\underbrace {A^{T}(AA^{T})^{-1}} _{A_{\text{right}}^{-1}}=I_{m}

வழக்கமாக அணிகள் மெய்யெண்களிலும் சிக்கலெண்களிலும் அமைந்தவை என்றாலும், பரிமாற்று வளையத்திலமைந்த அணிகளுக்கும் மேலுள்ள வரையறைகள் பொருந்தும்.

களம் $K$ ல் உள்ள உறுப்புகளைக் கொண்ட ஒரு சதுர அணி $A$ ன் அணிக்கோவையின் மதிப்பு பூச்சியமாக இல்லாதிருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அணி $A$ ஆனது ஒரேவரிசையுடைய சதுர அணிகளின் கணத்தில், அணிகளின் பெருக்கல் செயலைப் பொறுத்து நேர்மாற்றத் தக்கதாகும். மேலும் பொதுவாக, பரிமாற்று வளையம் மீதான ஒரு சதுர அணியின் அணிக்கோவை அவ்வளையத்தில் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சதுர அணியும் நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருக்க முடியும். வளையத்தில் தரம் என்ற கருத்து கிடையாதகையால் ஒருபக்க நேர்மாறுகளின் வரையறை சற்று சிக்கலானது.

அணி நேர்மாற்றல் என்பது ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் நேர்மாறு காணும் செயலாகும்.

நேர்மாற்றத்தக்க n×n அணிகளின் கணமானது அணிப்பெருக்கல் செயலியுடன் ஒரு குலமாகும் (பொது நேரியல் குலம்).

பண்புகள்

A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க அணி எனில்:

(A⁻¹)⁻¹ = A;
(kA)⁻¹ = k⁻¹A⁻¹ k ஒரு பூச்சியமில்லாத் திசையிலி;
(A^T)⁻¹ = (A⁻¹)^T;
n x n வரிசையுடைய அணிகள் A , B நேர்மாற்றத்தக்கவை எனில்:

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

A₁,...,A_k என்பவை நேர்மாற்றத்தக்க n x n அணிகள் எனில்::(A₁A₂⋯A_k−1A_k)⁻¹ = A⁻¹
_kA⁻¹
_k−1⋯A⁻¹
₂A⁻¹
₁;

det(A⁻¹) = det(A)⁻¹.
தனக்குத்தானே நேர்மாறாக அமையும் அணி சுருள்வு அணியாகும். A ஒரு சுருள் அணியெனில்,

A = A⁻¹ and A² = I

சேர்ப்பு அணி

ஒரு அணியின் சேர்ப்பு அணியைப் பயன்படுத்தி அதன் நேர்மாறு காணலாம்:

A

ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க

n\times n

அணி எனில்:

A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A)

.

முற்றொருமை அணி

முற்றொருமை அணியுடனான தொடர்பு: A , B என்பன இரு முடிவுறு சதுர அணிகள் எனில்:

\mathbf {AB} =\mathbf {I} \

உண்மையானால்,

\mathbf {BA} =\mathbf {I} \

என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.[2]

நேர்மாறு காணல்

கிராமரின் விதியைப் பயன்படுத்தி நேர்மாற்றத்தக்க அணியின் நேர்மாறு காணலாம். இம்முறை சிறு அணிகளுக்கே பொருத்தமானது அணிகளின் வரிசை அதிகமாகும்போது இது போதுமானதாக இருக்காது. சேர்ப்பு அணி என அழைக்கப்படும் தரப்பட்ட அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியைக் கொண்டு மூல அணியின் நேர்மாறு காணலாம்:

\mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}

\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)

|A| - A அணியின் அணிக்கோவை

C - A அணியின் இணைக்காரணிகள் அணி

C^T -A அணியின் இணைக்காரணிகள் அணி C இன் இடமாற்று அணி

2×2 அணியின் நேர்மாறு

மேற்கூறப்பட்ட இணைக்காரணிச் சமன்பாடு 2×2 அணிகளுக்குப் பின்வரும் விளைவைத் தருவதால் இரண்டாம் வரிசை நேர்மாற்றத்தக்க சதுர அணிகளின் நேர்மாறுகளை எளிதாகக் காணமுடியும்:[3]

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}.

1/(ad-bc) என்பது எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட அணியின் அணிக்கோவையின் தலைகீழ் மதிப்பாகும்.

3×3 அணிகள்

\mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{T}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}

திசையிலி A , உறுப்பு a இன் இணைக்காரணி;

திசையிலி B , உறுப்பு b இன் இணைக்காரணி;

திசையிலி C , உறுப்பு c இன் இணைக்காரணி;

...

அணிக்கோவை மதிப்பு பூச்சியமில்லை எனில் A நேர்மாற்றத்தக்கது. அணிக்கோவையின் மதிப்பை சாரசு விதிமூலம் கணக்கிட்டுக் கொள்ளலாம்.

அணியின் ஒவ்வொரு உறுப்பின் இணைக்காரணிகள்:

{\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}

\det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.

குறிப்புகள்

MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse.
Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பக். 14. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-38632-6.
Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd ). SIAM. பக். 71. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-9614088-9-8. https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC., Chapter 2, page 71

மேற்கோள்கள்

Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990]. "28.4: Inverting matrices". Introduction to Algorithms (2nd ed.). MIT Press and McGraw-Hill. pp. 755–760. ISBN 0-262-03293-7.

மேலதிக வாசிப்புக்கு

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Inversion of a matrix", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas at கூகுள் புத்தகங்கள்
The Matrix Cookbook

வெளியிணைப்புகள்

Lecture on Inverse Matrices by Khan Academy
Linear Algebra Lecture on Inverse Matrices by MIT
LAPACK is a collection of FORTRAN subroutines for solving dense linear algebra problems
ALGLIB includes a partial port of the LAPACK to C++, C#, Delphi, etc.
Online Inverse Matrix Calculator using AJAX
Symbolic Inverse of Matrix Calculator with steps shown
Moore Penrose Pseudoinverse
Inverse of a Matrix Notes
Module for the Matrix Inverse
Calculator for Singular or Non-Square Matrix Inverse
Inverse calculator online
Derivative of inverse matrix பிளாநெட்மேத்தில்

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] MIT Professor Gilbert Strang Linear Algebra Lecture #33 - Left and Right Inverses; Pseudoinverse.

[2] Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம். பக். 14. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-38632-6.

[3] Strang, Gilbert (2003). Introduction to linear algebra (3rd ). SIAM. பக். 71. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-9614088-9-8. https://books.google.com/books?id=Gv4pCVyoUVYC., Chapter 2, page 71