சேர்ப்பு அணி

நேரியல் இயற்கணிதத்தில் ஒரு சதுர அணியின் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி (adjugate matrix) என்பது அச்சதுர அணியின் இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணியாகும்.[1]

வரையறை

A அணியின் இணைக்காரணி அணி C இன் இடமாற்று அணியானது A இன் சேர்ப்பு அணி அல்லது இணைப்பு அணி என வரையறுக்கப்படுகிறது.

\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}~.

R ஒரு பரிமாற்று வளையம்; R இலுள்ள உறுப்புகளாலான $n \times n$ அணி A.

M_ij என்பது A அணியின் (i,j) சிற்றணிக்கோவை; இது A அணியின் $i$ ஆவது நிரையையும் $j$ ஆவது நிரலையும் நீக்குவதன் மூலம் பெறப்படும் (n − 1)×(n − 1)}} அணியின் அணிக்கோவை.
C_ij என்பது A அணியின் (i,j) இணைக்காரணி;

\mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ij}~.

A அணியின் இணைக்காரணி அணி C என்பது ஒரு $n \times n$ அணி; இதன் $(i, j)$ ஆவது உறுப்பு A அணியின் $(i, j)$ ஆவது இணைக்காரணியாக இருக்கும்
C அணியின் இடமாற்று அணியே A அணியின் சேர்ப்பு அணியாகும். அதாவது $n \times n$ வரிசை கொண்ட சேர்ப்பு அணியின் (i,j) உறுப்பானது A அணியின் (j,i) இணைக்காரணியாக அமையும்:

\mathrm {adj} (\mathbf {A} )_{ij}=\mathbf {C} _{ji}=(-1)^{i+j}\mathbf {M} _{ji}\,

.

A அணியையும் அதன் சேர்ப்பு அணியையும் பெருக்கக் கிடைக்கும் அணி, $det(A)$ ஐ முதன்மை மூலைவிட்ட உறுப்புகளாகக் கொண்ட மூலைவிட்ட அணியாகும்.

$\mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} ~.$

R இல், det(A) நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, A அணியும் நேர்மாற்றத்தக்க அணியாக இருக்கும். அவ்வாறு நேர்மாற்றத்தக்கதாக இருந்தால் கீழுள்ள இரு முடிவுகளும் உண்மையாகும்:

\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{-1}~,

\mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~.

எடுத்துக்காட்டுகள்

1 × 1 பொது அணி

எந்தவொரு பொதுவான 1×1 அணிக்கும் அதன் சேர்ப்பு அணி: $\mathbf {I} =(1)$ .

2 × 2 பொதுஅணி

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}

என்ற 2 × 2 பொதுஅணியின் சேர்ப்பு அணி:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}{d}&{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}

.

மேலும் det(adj(A)) = det(A) என்பதும் adj(adj(A)) = A என்பதும் உண்மையாக இருக்கும்.

3 × 3 பொதுஅணி

\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}

இதன் இணைக்காரணி அணி:

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}

சேர்ப்பு அணி:

\operatorname {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}

3 × 3 எண் அணி

\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}

.

செயல்முறை:

{\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}

அணியின் இணைக்காரணி அணி:

\mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}0&-2\\-4&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-1&-2\\3&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-1&0\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\-{\begin{vmatrix}2&-5\\-4&1\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&-5\\3&1\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&2\\3&-4\end{vmatrix}}\\&&\\+{\begin{vmatrix}2&-5\\0&-2\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}-3&-5\\-1&-2\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}-3&2\\-1&0\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}

இணைக்காரணி அணியின் இடமாற்று அணி:

\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,-5&\!4\\\!18&\!12&\,-6\\\,-4&\!-1&\,2\end{pmatrix}}^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}\!-8&\,18&\!-4\\\!-5&\!12&\,-1\\\,4&\!-6&\,2\end{pmatrix}}=\operatorname {adj} {\begin{pmatrix}\!-3&\,2&\!-5\\\!-1&\,0&\!-2\\\,3&\!-4&\,1\end{pmatrix}}

பண்புகள்

சேர்ப்பு அணியின் பண்புகள்:

A , B இரண்டும் $n \times n$ அணிகள் எனில்:

\mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I}

\mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )

\mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )~

m ஒரு முழு எண் எனில்:

\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}~

\mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}~

A ஒரு n×n அணி; மேலும் n ≥ 2 எனில்:

\det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},

மேலும் A ஒரு நேர்மாற்றத்தக்க n×n அணி எனில்:

\mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} ~,

A நேர்மாற்றத்தக்கது, n = 2 எனில்:

det(adj(A)) = det(A)

adj(adj(A)) = A

நேர்மாற்றத்தக்க அணி A க்கு $k$ தடவைகள் சேர்ப்பு அணி காணக் கிடைப்பது:

\mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} )=\det(\mathbf {A} )^{\frac {(n-1)^{k}-(-1)^{k}}{n}}\mathbf {A} ^{(-1)^{k}}~,

\det {\big (}\mathrm {adj} _{k}(\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{(n-1)^{k}}~.

மேற்கோள்கள்

Felix Gantmacher (1960). The Theory of Matrices. 1. New York: Chelsea. பக். 76–89. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8218-1376-5. https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76.

Roger A. Horn and Charles R. Johnson (1991), Topics in Matrix Analysis. Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46713-1

வெளியிணைப்புகள்

Matrix Reference Manual
Online matrix calculator (determinant, track, inverse, adjoint, transpose) Compute Adjugate matrix up to order 8
"adjugate of { { a, b, c }, { d, e, f }, { g, h, i } }". வொல்பிராம் அல்பா.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Felix Gantmacher (1960). The Theory of Matrices. 1. New York: Chelsea. பக். 76–89. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-8218-1376-5. https://books.google.com/books?id=ePFtMw9v92sC&pg=PA76.