செங்குத்து அணி

ஒரு சதுர அணி A இன் வரிசைகளையும் நிரல்களையும் ஒன்றுக்கொன்று பரிமாறுவோமானால் கிடைக்கும் அணி இடமாற்று அணி, அணித்திருப்பம், இடம் மாற்றிய அணி, திருப்பிய அணி எனப் பலவிதமாகவும் சொல்லப்படும். அதை A^T என்ற குறியீட்டால் குறிப்பர். இதை

A^T = (${\displaystyle a_{i,j}}$)^T = (${\displaystyle a_{j,i}}$) என்றும் எழுதலாம்.

மெய்யெண்களைக்கொண்ட ஒரு சதுர அணி M கீழுள்ள பண்பைக் கொண்டிருக்குமானால் அது செங்குத்து அணி எனப்படும்:

${\displaystyle M^{T}=M^{-1}}$ .

இங்கு ${\displaystyle M^{-1}}$ என்பது M இன் நேர்மாற்று அணி. இதையே

${\displaystyle MM^{T}=I=M^{T}M}$ என்றும் எழுதலாம். இங்கு ${\displaystyle I}$ என்பது முற்றொருமை அணி.

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}cos\theta &sin\theta \\-sin\theta &cos\theta \end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{\surd {2}}}{\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}$

• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&-1&1&-1\\1&1&-1&-1\\1&-1&-1&1\end{pmatrix}}}$

குறிப்பு1.: செங்குத்து அணிகளெல்லாம் நேர்மாறு உள்ள அணிகள். அதாவது, அவை வழுவிலா அணிகள்.

குறிப்பு2.: மெய்யெண்களுக்குப்பதிலாக சிக்கலெண்களைக் கொண்ட சதுர அணிகளில் செங்குத்து அணிகளை ஒத்த, ஆனால் சிக்கல் எண் நிலைக்காக சிறிது மாறான, பண்பைப் பெற்றிருப்பவைகளை அலகு நிலை அணி (Unitary Matrix) என்பர்.

• முற்றொருமை அணி ஒரு செங்குத்து அணி. செங்குத்து அணியின் நேர்மாறு அணியும் செங்குத்து அணி. இதனால் ${\displaystyle n\times n}$ செங்குத்து அணிகளெல்லாம் அணிப்பெருக்கலுக்கு ஒரு குலமாகும். இக்குலத்திற்கு n-கிரமச்செங்குத்துக் குலம் என்று பெயர். இதற்குக் குறியீடு ${\displaystyle O_{n}(\mathbf {R} ).}$
• ஒரு செங்குத்து அணியின் அணிக்கோவை (Determinant)= +1 அல்லது -1.
• ஒரு ${\displaystyle n\times n}$ செங்குத்து அணியின் நிரல்கள் (வரிசைகள்) ${\displaystyle \mathbf {R} _{n}}$ க்கு ஒரு செங்குத்தலகு அடுக்களமாகும் (Orthonormal basis). அதாவது, ஒவ்வொரு நிரல் திசையனுக்கும் நீளம் 1; நிரல் திசையன்கள் நேரியல்சார்பற்றவைமட்டுமல்ல; அவை ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்துத் திசையன்கள், அதாவது ஒவ்வொரு ஜோடி நிரல்களின் புள்ளிப்பெருக்கல் சூனியம்.
• ${\displaystyle n\times n}$ செங்குத்து அணி ${\displaystyle M}$ ஆல் வரையறுக்கப்படும் நேரியல் கோப்பு உட்பெருக்குகளைக் காக்கும். அதாவது, ஒவ்வொரு ஜோடி ${\displaystyle n}$-திசையன்கள் ${\displaystyle u,v}$ க்கும் ${\displaystyle (u,v)=(Mu,Mv)}$. மற்றும், உட்பெருக்குகளைக் காக்கும் அணிகள் இவைகளே.

• அணிகளில் இயற்கணித அமைப்புகள்