பிழைச் சார்பு

சிக்கலெண் தளத்தில் வரைபடம்

தொகையிடப்படும் சார்பு (Integrand): exp(−z²)

erf(z)

• z ஒரு சிக்கலெண் எனில்:

${\displaystyle \operatorname {erf} ({\overline {z}})={\overline {\operatorname {erf} (z)}}}$

இதில் z இன் இணையியச் சிக்கலெண் ${\displaystyle {\overline {z}}}$ .

படத்தில், தொகையிடப்படும் சார்புகள் ƒ = exp(−z²)மற்றும் ƒ = erf(z) இரண்டும் சிக்கலெண் தளமான z-தளத்தில் வரையப்பட்டுள்ளன.

• Im(ƒ) = 0 க்குரியவை அடர்த்தியான பச்சை நிறக் கோடுகளாலும்
• Im(ƒ) இன் எதிர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும்
• Im(f) இன் நேர் முழு எண் மதிப்புகளுக்கானவை அடர்த்தியான நீல நிறக் கோடுகளாலும்
• இடைப்பட்ட Im(ƒ) = மாறிலி -க்குரியவை மெல்லிய பச்சை நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.
• இடைப்பட்ட Re(ƒ) = மாறிலி, இன் எதிர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய சிவப்பு நிறக் கோடுகளாலும், நேர் மதிப்புகளுக்குரியவை மெல்லிய நீல நிறக் கோடுகளாலும் காட்டப்பட்டுள்ளன.

மெய் அச்சில் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு, z → +∞ எனில் 1 ஐயும், z → −∞ எனில் −1 ஐயும் erf(z) அணுகுகிறது. கற்பனை அச்சில் ±i∞ ஐ அணுகுகிறது.

• பிழைச் சார்பு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு.

${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z)}$

• பிழைச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் அல்லது டெய்லர் விரிவு:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}$

பின்வருமாறும் இதனை மாற்றி அமைக்கலாம்:

${\displaystyle \operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}}$

• +∞ இல் பிழைச் சார்பின் மதிப்பு 1

• பிழைச் சார்பின் வகைக்கெழு:

${\displaystyle {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\,\mathrm {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\,e^{-z^{2}}.}$

• பிழைச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு (தொகையீடு):

${\displaystyle z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

• நேர்மாறு பிழைச் சார்பு

நேர்மாறு பிழைச் சார்பின் வரையறை மெக்லாரின் தொடர் வாயிலாக:

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},\,\!}$

c₀ = 1 மற்றும்

${\displaystyle c_{k}=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},\ldots \right\}.}$

${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(z)={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).\ }$

• நேர்மாறு நிரப்பு பிழைச் சார்பு:

${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}(z).}$

• நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் அணுகுமுறை விரிவு (asymptotic expansion):

x இன் பெரிய மெய்மதிப்புகளுக்கு,

${\displaystyle \mathrm {erfc} (x)={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left[1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{(2x^{2})^{n}}}\right]={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{(2x^{2})^{n}}},\,}$

(2n – 1)!! என்பது (2n – 1) வரையிலான ஒற்றை எண்களின் தொடர் பெருக்கம்.

• தொடரும் பின்ன விரிவு

நிரப்புப் பிழைச் சார்பின் தொடரும் பின்ன விரிவு:[4]

${\displaystyle \mathrm {erfc} (z)={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {a_{1}}{z^{2}+{\cfrac {a_{2}}{1+{\cfrac {a_{3}}{z^{2}+{\cfrac {a_{4}}{1+\dotsb }}}}}}}}\qquad a_{1}=1,\quad a_{m}={\frac {m-1}{2}},\quad m\geq 2.}$

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் குவிவுப் பரவற் சார்பு Φ க்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\right]={\frac {1}{2}}\,\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\\mathrm {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$

Q-சார்புக்கும் பிழைச் சார்புக்குமான தொடர்பு:

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

குவிவுப் பரவற் சார்பின் நேர்மாறுக்கும் பிழைச் சார்புக்கும் இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\,\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பு

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்புகளின் வரைபடம் E_n(x):
சாம்பல் வளைவரை: E₁(x) = (1 − e ^−x)/${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\pi }}}$
சிவப்பு வளைவரை: E₂(x) = erf(x)
பச்சை வளைவரை: E₃(x)
நீல வளைவரை : E₄(x)
பொன்வண்ண வளைவரை : E₅(x).

பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பிழைச் சார்பின் வரையறை:

${\displaystyle E_{n}(x)={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{n}}\,\mathrm {d} t={\frac {n!}{\sqrt {\pi }}}\sum _{p=0}^{\infty }(-1)^{p}{\frac {x^{np+1}}{(np+1)p!}}\,.}$

• E₀(x) என்பது ஆதிவழிச் செல்லும் கோடு

${\displaystyle \scriptstyle E_{0}(x)={\frac {x}{e{\sqrt {\pi }}}}}$

• E₂(x) என்பது பிழைச் சார்பு erf(x).

• Press, William H.; Teukolsky, Saul A.; Vetterling, William T.; Flannery, Brian P. (2007), "Section 6.2. Incomplete Gamma Function and Error Function", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ), New York: Cambridge University Press, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-88068-8, http://apps.nrbook.com/empanel/index.html#pg=259

• MathWorld – Erf