இயல்நிலைப் பரவல்

இயல்நிலைப் பரவலின் எளியவகை, திட்ட இயல்நிலைப் பரவலாகும்.

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் நிகழ்தவு அடர்த்திச் சார்பு:

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {\scriptscriptstyle 1}{\scriptscriptstyle 2}}x^{2}}.}$

இச்சார்பைப் பின்வரும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகளைச் சரிசெய்யும் சார்பு f(x) ஆகவும் வரையறுக்கலாம்:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!f(x)dx=1}$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!xf(x)dx=\mu }$

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!(f(x)-\mu )^{2}=\sigma ^{2}}$

இச்சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதன் மூலம் கிடைக்கும் இயல்நிலைப் பரவலின் சார்பு வடிவம்: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}$

இதிலுள்ள ${\displaystyle \scriptstyle \ 1/{\sqrt {2\pi }}}$ காரணி, இச்சார்பின் வளைவரையின் பரப்பு ஒரு அலகு என்பதை உறுதிப்படுத்துகிறது. அடுக்கிலுள்ள 1/2, வளைவரையின் அகலத்தை (வளைவுமாற்றுப் புள்ளிகளுக்கிடையே உள்ள தூரத்தில் பாதியளவு) ஒரு அலகாக்குகிறது. புள்ளியியலில் ஏனைய நிகழ்தகவுப்பரவல்களின் அடர்த்திச் சார்புகள் f அல்லது p எனக் குறிக்கப்படுகிறது. ஆயினும் இப்பரவலின் அடர்த்திச் சார்பை ϕ (phi) என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிப்பது வழக்கமாக உள்ளது.[3] பொதுவாக,ஒரு இருபடிச் சார்பை அடுக்கேற்றப்படுத்துவதன் மூலம் இயல்நிலைப் பரவலைக் காணலாம்:

${\displaystyle f(x)=e^{ax^{2}+bx+c}.\,}$

இச்சார்பின் வளைவரை மணிவடிவமாக இருக்கும். இச்சார்பு குழிவானதாக இருப்பதற்கு, a < 0 ஆக இருக்க வேண்டும். எப்பொழுதும் f(x) > 0 ஆக உள்ளது. a ன் மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம் மணி வளைவரையின் அகலத்தைக் கட்டுப்படுத்தலாம். b ன் மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம் மணியின் நடுமுகடினை x அச்சின் திசையில் நகர்த்தலாம். c ன் மதிப்பை மாற்றுவதன் மூலம் முகடின் உயரத்தைக் கட்டுப்படுத்தலாம். f(x) ஆனது உண்மையிலேயே Rன் மீதான ஒரு நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பாக இருப்பதற்கு, ${\displaystyle \scriptstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx\ =\ 1}$ என்றிருக்குமாறு c ன் மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்க வேண்டும் (இதற்கு  a < 0 என இருப்பதும் அவசியம்).

a, b, and c குப் பதில், சராசரி μ = -b/2a மற்றும் பரவற்படி σ² = 1/2a என்பதைப் பயன்படுத்தலாம். இப்புதிய பண்பளவைகளைப் பயன்படுத்தி நிகழ்தகவு அடர்த்திச்சார்பினை வசதியானதொரு திட்ட வடிவில் மாற்றிக் கொள்ளலாம்:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{\frac {-(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}={\frac {1}{\sigma }}\,\phi \!\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் சராசரி μ = 0 மற்றும் பரவற்படி σ² = 1 ஆகவும் அமைவதைக் காண்க. திட்ட இயல்நிலைப் பரவலை  σ அளவு கிடைமட்டமாக நீட்டிப்பதாலும்  μ அளவு வலப்புறத்தில் பெயர்ச்சி செய்வதாலும் கிடைக்கக்கூடிய பரவலாக எந்தவொரு இயல்நிலைப் பரவலையும் கருதலாம் என்பதை மேலே தரப்பட்ட சமன்பாட்டின் இறுதிப் பகுதியானது காட்டுகிறது.

பண்பளவைகள் μ மற்றும் σ இரண்டும் முறையே மணி வளைவரையின் நடுமுகட்டையும் அகலத்தையும் குறிக்கும். அதேசமயம் இயல்நிலைப் பரவலின் சராசரி, இடைநிலை மற்றும் முகடு மூன்றும் சமமாக இருக்கும். அவை மூன்றையும் μ குறிக்கிறது. சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்புகள், சராசரியைச் சுற்றி எவ்வாறு பரவியுள்ளது என்பதை σ² தருகிறது. இது பரவற்படி என அழைக்கப்படுகிறது. σ² ன் வர்க்க மூலம் பரவலின் திட்ட விலக்கமாகும்.

இயல்நிலைப் பரவலின் குறியீடு: N(μ, σ²).[4]

சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ² கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் குறியீடு: ${\displaystyle X\ \sim \ {\mathcal {N}}(\mu ,\,\sigma ^{2}).\,}$

இயல்நிலைப் பரவலின் நிகழ்தவு அடர்த்திச் சார்பு (probability density function-pdf):

${\displaystyle f(x;\,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\,e^{-(x-\mu )^{2}\!/(2\sigma ^{2})}={\frac {1}{\sigma }}\,\phi \!\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),\qquad x\in \mathbb {R} .}$

பரவற்படி, σ² பூச்சியமாக இல்லாமல் இருந்தால் மட்டுமே இச்சார்பு முறைமைச் சார்பாக (proper function) இருக்கும். அப்பொழுது இச்சார்பு, முழு மெய்யெண் கோட்டின்மீது வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக அமையும். மேலும் இச்சார்பு காசியன் சார்பு எனவும் அழைக்கபடுகிறது.

பண்புகள்:

• சார்பு f(x) ஒரேயொரு முகட்டினை உடையது. முகடு x = μ -ஐப்பொறுத்து சமச்சீரானது. இயல்நிலைப் பரவலுக்குச் சராசரி, இடைநிலையளவு, முகடு மூன்றும் சமமாக இருக்கும்.[5]
• இச்சார்பின் வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள் சராசரியிலிருந்து இருபுறமும் σ அளவு தூரத்தில் அமைகின்றன. அதாவது, வளைவு மாற்றப் புள்ளிகள், x = μ − σ மற்றும் x = μ + σ புள்ளிகளில் அமைகின்றன.[5]
• சார்பு f(x) மடக்கை-குழிவாகும்.(Logarithmically concave function)[5]
• திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் அடர்த்திச் சார்பு ϕ(x), வூரியே மாற்றின் ஐசன் சார்பாகும்.
• f(x) முடிவில்லாமல் வகையிடத்தக்கது.[6]
• ϕ(x)ன் முதல் வகைக்கெழு; ϕ′(x) = −x·ϕ(x);
  • இரண்டாம் வகைக்கெழு; ϕ′′(x) = (x² − 1)ϕ(x).
  • பொதுவாக n-ஆம் வகைக்கெழு; ϕ⁽ⁿ⁾(x) = (−1)ⁿH_n(x)ϕ(x),
  • H_n என்பது n ஆம் வரிசை ஹெர்மைட் பல்லுறுப்புக் கோவையாகும்.[7]

சேர்ப்பு அடர்த்திச் சார்பானது (Cumulative distribution function-cdf), (−∞, x] இடைவெளியிலுள்ள மதிப்புகளை எடுக்கும் சமவாய்ப்பு மாறியின் நிகழ்தகவுகளைப் பற்றி விளக்குகிறது. திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் cdf -ன் குறியீடு, Φ ஆகும்.(phi -கிரேக்க முகப்பெழுத்து) அதனை நிகழ்தகவு அடர்த்திச்சார்பின் தொகையீடாகப் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்திக் கணக்கிடலாம்:

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt={\frac {1}{2}}\left[\,1+\operatorname {erf} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\,\right],\quad x\in \mathbb {R} .}$

இத்தொகையீட்டை erf, எனச் சுருக்கமாகக் குறிக்கப்படும் சிறப்புச் சார்பான பிழைச் சார்பு(error function)மூலம் எழுதலாம். சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ² > 0 கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் cdf :

${\displaystyle F(x;\,\mu ,\sigma ^{2})=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)={\frac {1}{2}}\left[\,1+\operatorname {erf} \left({\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\,\right],\quad x\in \mathbb {R} .}$

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் cdf -ன் நிரப்பி: Q(x) = 1 − Φ(x), இது Q-சார்பு என பொறியியலில் அழைக்கப்படுகிறது.[8][9]

பண்புகள்:

• திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் cdf, (0, ½) இடைவெளியிலுள்ள புள்ளியைப் பொறுத்து இருமடிப்பு சுழற்சி சமச்சீருடையது;

Φ(−x) = 1 − Φ(x).

• Φ(x) -ன் வகையீடு, திட்ட இயல்நிலை அடர்த்திச் சார்பு (pdf), ϕ(x) க்குச் சமம்:

  Φ′(x) = ϕ(x).

• Φ(x) ன் எதிர்வகையீடு:

  ∫ Φ(x) dx = x Φ(x) + ϕ(x).

பரவற்படி பூச்சியமாகக் கொண்ட இயல்நிலைப் பரவலின் cdf, ஹெவிசைட் படிச் சார்பாகும்.(Heaviside step function) (H(0) = 1 என்று எடுத்துக் கொள்வது மரபு.)

${\displaystyle F(x;\,\mu ,0)=\mathbf {1} \{x\geq \mu \}\,.}$

திட்ட இயல்நிலை cdf ன் நேர்மாறானது, மதிப்பளவை சார்பு (Quantile function) என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் அச்சார்பு பிழைச் சார்பின் நேர்மாறுச் சார்பின் மூலம் தரப்படுகிறது:

${\displaystyle \Phi ^{-1}(p)\equiv z_{p}={\sqrt {2}}\;\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் மதிப்பளவைகள், பொதுவாக z_p என க் குறியிடப்படுகின்றன. மதிப்பளவை z_p என்பது, ஒரு திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியானது அதன் மதிப்புகள் (−∞, z_p] இடைவெளியில் அமைவதற்கான நிகழ்தகவு சரியாக p என இருப்பதற்காக அம்மாறி எடுக்கக்கூடிய மதிப்பினைக் குறிக்கிறது. எடுகோள் சோதனை, நம்ப இடைவெளிவெளிகள் அமைத்தல் மற்றும் Q-Q பிளாட்டுகளில் மதிப்பளவைகள் பயன்படுகின்றன.

மிக முக்கியமான இயல்நிலை மதிப்பளவை: 1.96 = z_0.975. ஒரு திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் தனிமதிப்பு 1.96 க்கும் அதிகமாக 5% நிகழ்வுகளில் இருக்கும்.

சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ², கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியின் மதிப்பளவை சார்பு:

${\displaystyle F^{-1}(p;\,\mu ,\sigma ^{2})=\mu +\sigma \Phi ^{-1}(p)=\mu +\sigma {\sqrt {2}}\,\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1),\quad p\in (0,1).}$

X என்ற சமவாய்ப்பு மாறியின் சிறப்பியல்பு சார்பு (Characteristic function): φ_X(t) என்பது e^itX -ன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகும். இதில், i கற்பனை அலகு; t ∈ R , சிறப்பியல்புச் சார்பின் கோணவீச்சாகும் (argument). சிறப்பியல்புச் சார்பானது, நிகழ்தகவு அடர்த்திச் சார்பு ϕ(x) -ன் வூரியே மாற்றாக அமையும்.

சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ², கொண்ட இயல்நிலைச் சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் சிறப்பியல்புச் சார்பு:[10]

${\displaystyle \varphi (t;\,\mu ,\sigma ^{2})=\int _{-\infty }^{\infty }\!e^{itx}{\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {1}{2}}(x-\mu )^{2}/\sigma ^{2}}dx=e^{i\mu t-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$

சிறப்பியல்புச் சார்பை சிக்கலெண் தளம் முழுவதிலும் விரிவாக்கம் செய்யலாம்:

φ(z) = e^{iμz − 1/2σ2z2} for all z ∈ 'C'.[11]

விலக்களவுகள் பிறப்பிக்கும் சார்பானது (moment generating function) e^tX -ன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

ஒரு இயல்நிலைச் சமவாய்ப்பு மாறியின் விலக்களவுகள் பிறப்பிக்கும் சார்பு:

${\displaystyle M(t;\,\mu ,\sigma ^{2})=\operatorname {E} [e^{tX}]=\varphi (-it;\,\mu ,\sigma ^{2})=e^{\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}.}$

குவிப்பெருக்கம் பிறப்பிக்கும் சார்பானது விலக்களவுகள் பிறப்பிக்கும் சார்பின் மடக்கையாகும்:

${\displaystyle g(t;\,\mu ,\sigma ^{2})=\ln M(t;\,\mu ,\sigma ^{2})=\mu t+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}.}$

இது t-ல் அமைந்த ஒரு இருபடிக் கோவையானதால் முதல் இரு குவிப்பெருக்கங்கள்(cumulants) மட்டுமே பூச்சியமற்றதாகும்.

இயல்நிலைப் பரவலுக்கு அனைத்து வரிசை விலக்களவுகளும் (Moments) உண்டு. சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ² கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -ன் எதிர்பார்ப்பு E|X|^p காண இயலும். மேலும் அது Re[p] > −1என்றவாறுள்ள அனைத்து p -ன் மதிப்புகளுக்கும் முடிவுறு மதிப்பாக இருக்கும். பொதுவாக, p = 1, 2, 3, … என்ற முழு எண் வரிசையிலான விலக்களவுகள்தான் கருத்திற் கொள்ளப்படுகின்றன.

• மைய விலக்களவுகள்(Central moments) என்பவை சராசரி μ-ஐப் பொறுத்த X ன் விலக்களவுகள் ஆகும். எனவே p வரிசையுடைய மைய விலக்களவு என்பது (X − μ)^pன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பாகும்.

  ${\displaystyle \mathrm {E} \left[(X-\mu )^{p}\right]={\begin{cases}0&{\text{if }}p{\text{ is odd,}}\\\sigma ^{p}\,(p-1)!!&{\text{if }}p{\text{ is even.}}\end{cases}}}$

  இங்கு n!! என்பது இரட்டைக் தொடர் பெருக்கம், அதாவது n முதல் 1 வரையிலான அனைத்து ஒற்றையெண்களின் பெருக்குத்தொகையைக் குறிக்கும்.

  • திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறி(Z) -ன் எதிர்பார்ப்பு மதிப்பு:

  σ^p · E[Z^p]

• மைய தனிமதிப்பு விலக்களவுகள்(Central absolute moments ) என்பவை |X − μ| -ன் விலக்களவுகள் ஆகும். இவை இரட்டை வரிசைகளுக்கு, வழக்கமான விலக்களவுகளாகவும் ஒற்றை வரிசைகளுக்குப் பூச்சியமற்றவையாகவும் இருக்கும்.

  ${\displaystyle \operatorname {E} \left[|X-\mu |^{p}\right]=\sigma ^{p}(p-1)!!\cdot \left.{\begin{cases}{\sqrt {2/\pi }}&{\text{if }}p{\text{ is odd}},\\1&{\text{if }}p{\text{ is even}},\end{cases}}\right\}=\sigma ^{p}\cdot {\frac {2^{\frac {p}{2}}\Gamma \left({\frac {p+1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}}$

  முழுஎண் அல்லாத p > −1 -க்கு கடைசி சூத்திரம் மெய்யாகும்.

• மூல விலக்களவுகள் மற்றும் மூல தனிமதிப்பு விலக்களவுகள்(Raw moments and raw absolute moments) என்பவை முறையே X மற்றும் |X| -ன் விலக்களவுகள் ஆகும்.

  ${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {E} \left[X^{p}\right]=\sigma ^{p}\cdot (-i{\sqrt {2}}\operatorname {sgn} \mu )^{p}\;U\left({-{\frac {1}{2}}p},\,{\frac {1}{2}},\,-{\frac {1}{2}}(\mu /\sigma )^{2}\right),\\&\operatorname {E} \left[|X|^{p}\right]=\sigma ^{p}\cdot 2^{\frac {p}{2}}{\frac {\Gamma \left({\frac {1+p}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}\;_{1}F_{1}\left({-{\frac {1}{2}}p},\,{\frac {1}{2}},\,-{\frac {1}{2}}(\mu /\sigma )^{2}\right).\\\end{aligned}}}$

  p -ன் மதிப்பு முழு எண்ணாக இல்லையென்றாலும் இவை பொருந்தும்.

• முதல் இரு குவிப்பெருக்கங்கள், μ மற்றும் σ² ஆகும். ஏனைய உயர்வரிசை குவிப்பெருக்கங்கள் அனைத்தும் பூச்சியமாகும்.

அனைத்து இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறிகளையும் திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறிகளுடன் தொடர்புபடுத்தலாம். சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ² கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறி X எனில்,

${\displaystyle Z={\frac {X-\mu }{\sigma }}}$

என்பது சராசரி 0 மற்றும் பரவற்படி 1 கொண்ட திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியாகும். மறுதலையாக Z எனும் திட்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியைக் கொண்டு, சராசரி μ மற்றும் பரவற்படி σ² கொண்ட இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறி X -ஐக் காணமுடியும்:

${\displaystyle X=\sigma Z+\mu .\,}$

திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் pdf மற்றும் cdf -ன் மதிப்புகள் அட்டவணையைப் பயன்படுத்தி அதன் இயல்நிலைப் பரவலின் pdf மற்றும் cdf -ன் மதிப்புகளைக் கணக்கிடுவது எளிதாக இருப்பதால், ஒரு இயல்நிலை சமவாய்ப்பு மாறியைத் திட்டப்படுத்துவது (Standardizing normal random variable) பயனுள்ளதாகவும் வசதியானதுமாக அமைகிறது. ஒரு இயல்நிலைப்பரவல் மற்றும் அதன் திட்ட இயல்நிலைப் பரவலின் pdf மற்றும் cdf இரண்டிற்கும் உள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right),\quad f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma }}\,\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

கருநீலநிறப் பரப்பு சராசரியிலிருந்து 1σ (68%), கரு மற்றும் நடுத்தர நீலநிறப் பரப்பு சராசரியிலிருந்து 2σ (95%), லேசான, நடுத்தர மற்றும் கருநீலநிறப் பரப்பு சராசரியிலிருந்து 3σ (99.7%) தூரத்துக்குள் அமையும் இயல்நிலைப் பரவலைக் குறிக்கிறது.

ஒரு இயல்நிலைப் பரவலில் கிட்டத்தட்ட 68% மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து σ அளவு தூரத்துக்குள் அமையும்; 95% மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து 2σ தூரத்துக்குள் அமையும்; 99.7% மதிப்புகள் சராசரியிலிருந்து 3σ தூரத்துக்குள்ளும் அமையும். இக்கருத்து 68-95-99.7 விதி, அல்லதுஅனுபவ விதி அல்லது 3- சிக்மா விதி என அழைக்கப்படுகிறது. இன்னும் துல்லியமாகச் சொல்லவேண்டுமெனில், மணி வளைவரையில் μ − nσ மற்றும் μ + nσ-க்கிடையேயுள்ள பரப்பு:

${\displaystyle F(\mu +n\sigma ;\,\mu ,\sigma ^{2})-F(\mu -n\sigma ;\,\mu ,\sigma ^{2})=\Phi (n)-\Phi (-n)=\mathrm {erf} \left({\frac {n}{\sqrt {2}}}\right),}$

இங்கு erf என்பது பிழைச் சார்பாகும்.

1. The designation "bell curve" is ambiguous: there are many other distributions which are "bell"-shaped: the Cauchy distribution, Student’s t-distribution, generalized normal, logistic, etc.