தொடர் பெருக்கம்

தொடர் பெருக்கச் சார்பு பின்வருமா று வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle n!=\prod _{k=1}^{n}k\!}$

அல்லது பின்வரும் தொடர்பின் மூலமும் இது தரப்படலாம்:

${\displaystyle n!={\begin{cases}1&{\text{if }}n=0,\\(n-1)!\times n&{\text{if }}n>0\end{cases}}}$

அடுக்கு விதியைப் பயன்படுத்தியும் பின்வருமாறு இதை வரையறுக்க முடியும்:

${\displaystyle n!=D^{n}x^{n}\;}$ [3]

மேற்காட்டிய எல்லா வரைவிலக்கணங்களும் :${\displaystyle 0!=1,\ }$ என்பதை உட்படுத்துகின்றன.

பெரும்பாலும் சேர்மானவியலைச் சேர்ந்தது என்றாலும் கணிதத்தின் பல பிரிவுகளிலுள்ள வாய்ப்பாடுகளில் தொடர் பெருக்கம் காணப்படுகிறது.

• வெவ்வேறான n பொருட்களை வெவ்வேறான n! வழிகளில் வரிசைப்படுத்தலாம். அதாவது வெவ்வேறான n பொருட்களின் வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை n! ஆகும்.
• வரிசைப்படுத்தல் தவிர்க்கப்பட வேண்டுமென்பதற்காகப் பெரும்பாலும் தொடர் பெருக்கமானது வாய்ப்பாடுகளில் பகுதியில் காணப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களைத் தேர்வுசெய்து அவற்றை வரிசைப்படுத்தும் வழிகளின் எண்ணிக்கை:

${\displaystyle n^{\underline {k}}=n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}$

இந்த வழிகளில் தேர்வுகள் ஒவ்வொன்றிலும் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட k பொருட்களை வரிசைப்படுத்தக்கூடிய k! வெவ்வேறான வழிகளும் அடங்கும் எனபதால் வரிசைப்படுத்தலைத் தவிர்த்து, n பொருட்கள் கொண்ட கணத்திலிருந்து k பொருட்களின் சேர்வுகளின் எண்ணிக்கைக்கான வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle {\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}={\frac {n!}{(n-k)!}}}$

இந்த வாய்ப்பாடு (1 + X)ⁿ விரிவில் X^k இன் கெழுவாகவும் அமைவதால் ஈருறுப்புக் கெழு (${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ ) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

• நுண்கணிதத்தில் டெயிலரின் தேற்றத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

டெயிலரின் தேற்றம்:[4][5][6]

k ≥ 1 ஒரு முழு எண்; a ∈ R புள்ளியில், சார்பு f : R → R k தடவைகள் வகையிடத்தக்கது எனில், h_k : R → R என்ற ஒரு சார்பு பின்வருமாறு இருக்கும்:

${\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+h_{k}(x)(x-a)^{k},}$

${\displaystyle {\mbox{and}}\quad \lim _{x\to a}h_{k}(x)=0}$

• நிகழ்தகவின் பல வாய்ப்பாடுகளில் தொடர்பெருக்கம் பயன்படுத்தப்பட்டுள்ளது.

எடுத்துக்காட்டு:

• பாய்சான் பரவலின் நிகழ்தகவு நிறைச் சார்பின் வாய்ப்பாடு[7]:

${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\Pr(X=k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$

இவ்வாய்ப்பாட்டில்,

தனித்த சமவாய்ப்பு மாறி X; λ > 0; k =0,1,2,…, e = 2.71828....

•  n மற்றும் அதைவிடச் சிறியதான அனைத்து பகா எண்களாலும் n! வகுபடும். இதன் விளைவாகக் கிடைக்கும் முடிவுகள்:
  • n > 5 ஒரு பகு எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

${\displaystyle (n-1)!\ \equiv \ 0{\pmod {n}}.}$

• • p ஒரு பகா எண்ணாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே

${\displaystyle (p-1)!\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}$ (வில்சனின் தேற்றம்)

• பகா எண்ணாகவும் தொடர் பெருக்கமாகவும் அமையும் ஒரே எண் 2.  n! ± 1, என்ற வடிவிலமையும் எண்கள் காரணீயப் பகாஎண்களென அழைக்கப்படுகின்றன.
• 1! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டின் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை இரட்டை எண்களாகும். 5! ஐ விடப் பெரிய தொடர் பெருக்கங்கள் அனைத்தும் இரண்டு மற்றும் மடங்குகளாக இருப்பதால் அவை பத்தின் மடங்குகளாக இருக்கும்.

தொடர் பெருக்கங்களின் பெருக்கல் தலைகீழிகளாலான தொடர், ஒருங்கும் தொடராக இருக்கும்:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+\ldots =e\,.}$

இத் தொடரின் கூடுதல் ஒரு விகிதமுறா எண் என்றாலும், தொடரின் உறுப்பிலுள்ள தொடர் பெருக்கங்களை நேர் முழு எண்களைக் கொண்டு பெருக்கி, தொடரை விகிதமுறு எண்ணைக் கூடுதலாகக் கொண்ட ஒருங்கு தொடராக மாற்றலாம்:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+2)n!}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{144}}\ldots =1\,.}$

இதனால் தொடர் பெருக்கங்கள் விகிதமுறாத் தொடர்முறைகளை அமைக்காது.[8]

கணிதத்தில் தொடர் பெருக்கம் போன்ற பிற பெருக்கங்களும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளன. அவை: