ஒற்றைச் சார்பு

• ஒவ்வொரு சார்பையும் ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒரு ஒற்றைச் சார்பின் கூடுதலாக எழுதலாம்.

விளக்கம்:

அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் வரையறுக்கப்பட்ட சார்பு ${\displaystyle f{(x)}}$ எனில் அதனை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle {\frac {f{(x)}}{2}}+{\frac {f{(x)}}{2}}+{\frac {f{(-x)}}{2}}-{\frac {f{(-x)}}{2}}}$ .

${\displaystyle {\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}}+{\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}}$ .

${\displaystyle g{(x)}={\frac {f{(x)}+f{(-x)}}{2}},\,}$

${\displaystyle h{(x)}={\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}}$ என எடுத்துக் கொண்டால்,

${\displaystyle f{(x)}=g{(x)}+h{(x)}}$ .

இதில்

${\displaystyle g{(-x)}={\frac {f{(-x)}+f{(x)}}{2}}=g{(x)}}$ என்பதால் ${\displaystyle g{(x)}}$ இரட்டைச் சார்பாகவும்,

${\displaystyle h{(-x)}={\frac {f{(-x)}-f{(x)}}{2}}=-{\frac {f{(x)}-f{(-x)}}{2}}=-h{(x)}}$ ${\displaystyle h{(x)}}$ ஒற்றைச் சார்பாகவும் இருப்பதைக் காணலாம்.

• ஒரு இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் கூடுதல் இரட்டைச் சார்போ அல்லது ஒற்றைச் சார்போ அல்ல. இரண்டில் ஒன்று அதன் ஆட்களம் முழுவதும் பூச்சியமாக இருந்தால் மட்டுமே இக்கூடுதல் சார்பு, இரட்டை அல்லது ஒற்றைச் சார்பாக இருக்கும்.

• ஒற்றைச் சார்புகளின் மெக்லாரின் தொடர், ஒற்றை அடுக்குகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.
• காலமுறை ஒற்றைச் சார்புகளின் வூரியே தொடர் சைன் உறுப்புகளை மட்டுமே கொண்டிருக்கும்.

• ஒற்றைச் சார்புகளின் நேரியல் சேர்வு ஒரு ஒற்றைச் சார்பு. மேலும் இந்த ஒற்றைச் சார்புகள், மெய்யெண்களின் மீதான ஒரு திசையன் வெளியை அமைக்கும்.

அனைத்து மெய்மதிப்புச் சார்புகளின் திசையன் வெளிகளும் இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் நேரியல் உள்வெளிகளின் நேரிடைக் கூடுதலாக அமைகின்றன.

எந்தவொரு சார்பு f(x) ஐயும் இரட்டை மற்றும் ஒற்றைச் சார்புகளின் தனித்ததொரு கூடுதலாகப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle f(x)=f_{\text{e}}(x)+f_{\text{o}}(x)\,,}$

இதில்,

${\displaystyle f_{\text{e}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)+f(-x)]}$ ஓர் இரட்டைச் சார்பு;

${\displaystyle f_{\text{o}}(x)={\tfrac {1}{2}}[f(x)-f(-x)]}$ ஓர் ஒற்றைச் சார்பு.

எடுத்துக்காட்டாக, f படிக்குறிச் சார்பு எனில், f_eஎன்பது  cosh ஆகவும் f_o என்பது  sinh ஆகவும் இருக்கும்.