நேரியல் சேர்வு

நேரியல் சேர்வு என்பது ஒரு கோவை தான் என்றாலும், அக்கோவையின் மதிப்பும் --அப்படி ஒரு மதிப்பு இருக்குமானால் --நேரியல் சேர்வு என்றே குறிப்பிடப்படுவதுண்டு.

• V என்ற திசையன் வெளி யில், u, v, w

என்ற திசையன்களின் எல்லா நேரியல் சேர்வுகளும் ஓர் உள்வெளி யாகின்றன என்ற கூற்று அவைகளின் கோவைத்தன்மை பற்றியது.

• ஆனால் V ³ இல் (1.0.0) = ½(2,0,0) + 0(0,0,1), அதனால் (1,0,0) என்ற திசையன் (2,0,0), (0,0,1) என்ற திசையன்களின் நேரியல் சேர்வு தான் என்ற கூற்று அவைகளின் மதிப்பைப் பற்றியது.

நேரியல் சேர்வு என்ற கருத்து நேரியல் இயற்கணிதத்தின் ஆணிவேராகும். அதனால் நேரியல் இயற்கணிதத்தின் பயன்பாடுகளனைத்திலும் அதன் வெளிப்பாடுகள் அத்தியாவசியமாக இருந்துகொண்டே இருக்கும். மற்றும் இக்கருத்து நேரியல் இயற்கணிதம் இன்றியமையாத சாதனமாக உள்ள புள்ளியியல், இயற்பியல்,மின்பொறியியல், மற்றும் கணிதத்திலேயே அடங்கும் சார்புப்பகுவியல், நுண்புல இயற்கணிதம் முதலிய அறிவியல் பிரிவுகளனைத்திலும் தோன்றுவது மட்டுமல்லாமல் நேரியல் பண்பு அற்ற பற்பல பயன்பாடுகளிலும் நேரியல் வழிகளைக்கொண்டுதான் அவைகளைத் தோராயப்படுத்த வேண்டியிருப்பதால் நேரியல் சேர்வே எல்லாவற்றிற்கும் ஓர் அடிப்படைக் கருத்தாகிவிடுகிறது.

இக்கட்டுரையில் பேசப்படுவதெல்லாம் முடிவுறு நேரியல் சேர்வுகளே; அதாவது, சேர்வுத்தொடுப்பிற்காக எடுத்துக்கொள்ளப்படும் உறுப்புக்களின் எண்ணிக்கை ஒரு முடிவுறு எண் n க்குள் அடங்கும். மாறாக, முடிவுறாத வகையில் உறுப்புக்களை எடுத்துத் தொடுத்துக்கொண்டே போனால் அக்கோவையின் ஒருங்கலைப்பற்றி ஆராய வேண்டி வரும். இதற்கு பகுவியல் இன் செயல்முறைகளும் இடவியல் என்ற கருத்தும் தேவை.

1. R² இல் 3(1,2) + 1 (0,1) ஒரு நேரியல் சேர்வு. இதுவும் (3,7) என்ற திசையனும் ஒன்றேதான்.

2. அதே R² இல் 3(1,2) + 1(0,1) + (-1)(3,7) என்பது (1,2), (0,1), (3,7) ஆகிய மூன்று திசையன்களின் நேரியல் சேர்வாகும்.இச்சேர்வு (0,0) என்ற திசையனுக்குச்சமம் என்பதும் உண்மை.

3.Rⁿ இலோ அல்லது Cⁿ இலோ (a₁, a₂, ... a_n). = a₁ e₁ +a₂e₂ + ... +a_ne_n அதாவது ஒவ்வொருதிசையனும்,e₁, e₂, ... e_n என்ற அடுக்களத் திசையன்களின் நேரியற்சேர்வே.

4. ${\displaystyle {{\mathcal {P}}[a,b]}}$ இல் உள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பும் அடுக்கள உறுப்புகளான 1, x, x², .... முதலியவைகளில் ஒரு முடிவுறு எண்ணிக்கையைக்கொண்ட உறுப்புகளின் நேரியல் சேர்வே. உதாரணமாக, 3x⁵ + 27 x² - 4 என்ற பல்லுறுப்புக்கோவை x⁵, x², 1 ஆகிய மூன்று அடுக்கள உறுப்புகளின் நேரியல் சேர்வு.

மெய்யெண்களையோ அல்லது விகிதமுறு எண்களையோ அளவெண்களாகக்கொண்ட திசையன்வெளிகளில் கீழ்க்கண்ட சிறப்புச்சேர்வுகளைப்பற்றிப் பேசமுடியும்.

1. நேரியல் சேர்விலுள்ள α _i முதலிய கெழுக்கள் எல்லாம் நேர்மமாகவும் அல்லது சூன்யமாகவும் இருக்குமானால், அச்சேர்வு குவைச்சேர்வு (conical linear combination) எனப்படும்.

2. எல்லாகெழுக்களும் நேர்மமாகவே இருக்குமானால், அச்சேர்வு நேர்ம நேரியல் சேர்வு (Positive Linear Combination) எனப்படும்.

3. கெழுக்களின் கூட்டுத்தொகை 1 என்றாகுமானால், அச்சேர்வு Affine Combination எனப்படும்.

4. ஒவ்வொரு கெழுவும் 0 ≤ α_i ≤ 1 என்ற கொள்கைக்குட்பட்டு, மற்றும் Σα_i = 1 என்ற சமன்பாடும் இருக்குமானால், அச்சேர்வு குவி நேரியல் சேர்வு (Convex Linear Combination) எனப்படும். குறிப்பிட்ட S என்ற ஒரு கணத்திலிருந்து எடுக்கப்பட்ட எல்லா குவி நேரியல் சேர்வுகளும் கொண்ட கணத்திற்கு S இன் குவியம் (Convex Hull of S) என்று பெயர்.

நேரியல் சார்பின்மை