வீச்சு, எதிருரு மற்றும் முன்னுரு

${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ என்ற சார்பை நோக்குக.

${\displaystyle f}$ வழியாக A யிலுள்ள ஒவ்வொரு ${\displaystyle x}$ க்கும் அதன் எதிருரு என்பது, ${\displaystyle B}$ இல் ${\displaystyle f}$ இனால் ${\displaystyle x}$ உடன் தனிப்படியாக உறவுண்டாக்கப்பட்ட (associated) ஒரு உறுப்பு. அது ${\displaystyle f(x)}$ என்ற குறியீட்டினால் குறிக்கப்படும்.

${\displaystyle f(A):=\{f(x)\mid x\in A\}}$ என்ற கணத்திற்கு ${\displaystyle f}$ இன் வீச்சு என்று பெயர்.இதையே ${\displaystyle f}$ இன் எதிருரு (Image) என்றும் சொல்வதுண்டு. அதனாலேயே ${\displaystyle Im(f)}$ என்ற குறியீடும் பழக்கத்திலிருக்கிறது. எனினும் இந்தக்குறியீட்டை கவனமாகப் பயன்படுத்தவேண்டும். ஏனென்றால் சில பழைய நூல்களில் ${\displaystyle Im(f)}$ என்ற குறியீடு ${\displaystyle f}$ இன் இணையாட்களத்தைக் குறித்தது.

${\displaystyle f}$ இன் எதிருருக்காக ஐயமறப் பயன்படுத்தப்படக்கூடியது ${\displaystyle R(f)}$ என்ற குறியீடு. ${\displaystyle R(f)}$ ஐ ${\displaystyle f}$ இன் வழியாக ${\displaystyle A}$ இன் எதிருரு என்றும் சொல்லலாம். குறியீடு ${\displaystyle Im_{f}[A]}$ . சூழ்நிலையிலிருந்து ${\displaystyle f}$ தெரிந்துகொள்ளப்படின், ${\displaystyle Im[A]}$ என்றே எழுதலாம். ஐயமேற்பட வாய்ப்பில்லாத பொழுது, இதையும் எளிதாக ${\displaystyle Im(A)}$ என்று எழுதுவதும் உண்டு.

${\displaystyle f}$ இன் இணையாட்களம் ${\displaystyle B}$ என்ற கணம்.

${\displaystyle f\colon A\rightarrow B}$ என்று கொள்க.

சார்பு: h(x) = x². D = ஆட்களம் CD = இணையாட்களம்

• ${\displaystyle f\colon }$ R${\displaystyle \rightarrow }$ R : ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

f இன் வீச்சு = R⁺ = ${\displaystyle \{f(x):0\leq f(x)<\infty \}}$ = [0, ${\displaystyle \infty }$ )

{-2,3} இன் எதிருரு: f({-2,3}) = {4,9},

{4,9} இன் முன்னுரு : f ⁻¹({4,9}) = {-3,-2,2,3}.

• ${\displaystyle g\colon }$ R${\displaystyle \rightarrow }$ R  : ${\displaystyle g(x)=2x}$

g இன் வீச்சு, இணையாட்களம், இரண்டுமே R தான்.

• ${\displaystyle h\colon }$ Z ${\displaystyle \to }$ Z : ${\displaystyle h(x)\ :=x^{2}}$ (படிமம் பார்க்க)

இச்சார்புக்கு

${\displaystyle h(\{0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\ }$

${\displaystyle h(\{-3,-2,-1,0\})=\{0,1,4,9\}\ }$

${\displaystyle h(\{-3,-2,-1,0,1,2,3\})=\{0,1,4,9\}\ }$

${\displaystyle R(h)=\operatorname {im} h=\{0,1,4,9,16,25,36,49,...\}\ }$

• ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}}$ . வரையறை:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{x=1}}\\d&{\text{x=2}}\\c&{\text{x=3}}\end{cases}}}$

${\displaystyle f}$ வழியாக, {2,3) இன் எதிருரு :f({2,3}) = {d,c},

${\displaystyle f}$ இன் வீச்சு :{ ${\displaystyle a,d,c}$ }

{${\displaystyle a,c}$ } இன் முன்னுரு: f ⁻¹({a,c}) = {1,3}.

• f: R² → R : வரையறை:f(x, y) = x² + y².

f ⁻¹({a})என்ற நார்களை மூன்று விதமாகச் சொல்லவேண்டும்.

a > 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் தொடக்கப்புள்ளியைச்சுற்றி பொதுமையவட்டங்கள்;

a = 0 வாக இருக்குமானால். நார் வெறும் தொடக்கப்புள்ளியைக்கொண்ட ஓருறுப்புக்கணம்;

a < 0 வாக இருக்குமானால், நார்கள் வெற்றுக்கணங்களே.

f: A → B ஒரு சார்பு என்றும் X , Y இரண்டும் A இன் உட்கணங்கள் என்றும் M , N இரண்டும் B இன் உட்கணங்கள் என்றும் கொண்டால்,

• ${\displaystyle f(\varnothing )=\varnothing }$
• ${\displaystyle f(X\cup Y)=f(X)\cup f(Y)}$
• ${\displaystyle f(X\cap Y)\subseteq f(X)\cap f(Y)}$ . இங்கு, ${\displaystyle f}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பானால், சமன்பாடு உண்மையாகும்.
• ${\displaystyle X\subseteq Y\Rightarrow f(X)\subseteq f(Y)}$
• ${\displaystyle f}$ ஒரு முழுக்கோப்பு ${\displaystyle \Longleftrightarrow }$ ${\displaystyle \operatorname {im} f=B}$ .
• f ⁻¹(M ∪ N) = f ⁻¹(M) ∪ f ⁻¹(N)
• f ⁻¹(M ∩ N) = f ⁻¹(M) ∩ f ⁻¹(N)
• f(f ⁻¹(M)) ⊆ M
• f ⁻¹(f(X)) ⊇ X
• M ⊆ N ${\displaystyle \Rightarrow }$ f ⁻¹(M) ⊆ f ⁻¹(N)
• f ⁻¹(M^C) = (f ⁻¹(M))^C
• (f |_X)⁻¹(M) = X ∩ f ⁻¹(M).

இரண்டு உட்கணங்களின் ஒன்றிப்பு, வெட்டு இவற்றைப்பற்றிய மேற்படி பண்புகளை, உட்கணங்களின் எந்தக் கூட்டத்திற்கும் உண்மை என்று கொள்ளலாம்.

• சார்பு
• முழுக்கோப்பு
• உள்ளிடுகோப்பு
• இருவழிக்கோப்பு
• ஆட்களம்
• இணையாட்களம்