முழுக்கோப்பு

${\displaystyle f}$ என்பது ${\displaystyle X}$ இலிருந்து ${\displaystyle Y}$ க்குப்போகும் ஒரு கோப்பு/சார்பு எனக்கொள்வோம். ${\displaystyle f}$ ஒரு முழுக்கோப்பு எனப்படுவதற்கு இலக்கணம்:

${\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\ \backepsilon f(x)=y}$

சுற்றுலாப்பயணிகளின் கூட்டமொன்று இராத்தங்க, எல்லா அறைகளும் காலியாக இருக்கும் ஒரு விடுதியில் வந்து சேருகின்றனர். பயணிகளுக்கு அறைகள் வழங்கும் முறையை ஒருகோப்பாக விவரிக்கலாம்.(பயணிகள் கணம்: X ; அறைகள் கணம்: Y.)

ஒவ்வொரு அறையும் நிரப்பப்படவேண்டுமென்றால், பயணிகளின் எண்ணிக்கை அறைகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது. அப்பொழுது ஒவ்வோரு அறையிலும் குறைந்த பட்சம் ஒரு பயணியாவது இருப்பர். இது முழுக்கோப்பு (surjective map; surjection; onto map).

ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கவேண்டுமென்றால், அறைகளின் எண்ணிக்கை பயணிகளின் எண்ணிக்கையைவிடக் குறைவாக இருக்கக்கூடாது.அப்பொழுது ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். இது உள்ளிடுகோப்பு (injective map; injection; one-one map).

பயணிகளின் எண்ணிக்கையும் அறைகளின் எண்ணிக்கையும் சமமாக இருந்தால், ஒவ்வொரு பயணிக்கும் ஒரு தனி அறை கிடைக்கும். ஒரு அறையும் காலியாக இருக்காது. இது இருவழிக்கோப்பு (bijective map; bijection; one-one onto map). அதாவது, இது உள்ளிடுகோப்பு, முழுக்கோப்பு ஆகிய இரு பண்புகளையும் கொண்டது.

மெய்யெண் சார்புகள்:

• ${\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால்,எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle f(x)=-4}$ க்குச்சரியான ${\displaystyle x}$ கிடையாது., ஆனால் நாம் வரையறையை மாற்றி எழுதலாம். அதாவது, இணையாட்களத்தை ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$ ஆகக்கொண்டால், அது முழுக்கோப்பாகும்.

• ${\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x)=2x-1}$

இது ஒரு முழுக்கோப்பு. ஏனென்றால் எந்த மெய்யெண் ${\displaystyle y}$ க்கும் ${\displaystyle y=2x-1}$ என்ற சமன்பாட்டைத்தீர்வு செய்து, ${\displaystyle x=(y+1)/2}$ என்று கண்டுபிடிக்கமுடியும். இதனால் ${\displaystyle \mathbf {R} }$ இலுள்ள எல்லாமெய்யெண்ணுக்கும் ஒரு முன்னுரு உள்ளது.

• ${\displaystyle g:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f(x)=(cosx)^{2}}$

இது முழுக்கோப்பல்ல. ஏனென்றால், எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle f(x)=-1}$ க்கு சரியான ${\displaystyle x}$ கிடையாது.

• ${\displaystyle h:\mathbf {R} \rightarrow [0,1]}$

${\displaystyle h(x)=(cosx)^{2}}$

இது முழுக்கோப்பாகும். ஏனென்றால், [0,1] இலுள்ள ஒவ்வொரு ${\displaystyle y}$ க்கும் ${\displaystyle cos^{-1}(\surd {y}),}$ மற்றும் ${\displaystyle cos^{-1}(-\surd {y})}$ என்ற இரண்டு முன்னுருக்கள் கிடைக்கின்றன.

• ${\displaystyle f:\mathbf {N} \rightarrow \mathbf {R} }$

இந்த ${\displaystyle f}$ எப்படி வரையறுக்கப்பட்டாலும் அது முழுக்கோப்பாக முடியாது. ஏனென்றால் வீச்சுக்கணம் = ${\displaystyle \{f(1),f(2),f(3),...\}}$ ; இதனுடைய எண்ணளவை ${\displaystyle \mathbf {R} }$ இன் எண்ணளவையைவிட ச் சிறியது.

சேர்வை முழுக்கோப்பு: ஆனாலும் முதல் கோப்பு முழுக்கோப்பல்ல.

• ${\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$ ஒரு முழுக்கோப்பானால் அதனுடைய வரைவு எல்லா கிடைக்கோடுகளையும் வெட்டும்.
• ${\displaystyle f:Y\rightarrow Z}$ ; ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$

${\displaystyle f\circ g}$ : ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ முழுக்கோப்பானால் ${\displaystyle f}$ முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டும். ${\displaystyle g}$ முழுக்கோப்பாக இருக்கவேண்டிய தில்லை. (படிமம் பார்க்கவும்)

• ${\displaystyle f,g}$ இரண்டுமே முழுக்கோப்பானால் ${\displaystyle f\circ g}$ முழுக்கோப்பாகும்.
• ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ஒரு முழுக்கோப்பானால், ஒவ்வொரு உட்கணம் ${\displaystyle B\subset Y}$ க்கும்,

${\displaystyle f(f^{-1}(B))=B}$ .

• இருவழிக்கோப்பு
• உள்ளிடுகோப்பு