டெய்லர் தொடர்

ƒ(x) என்பது ஒரு மெய்யெண் அல்லது சிக்கலெண் மதிப்புச் சார்பு. a என்ற புள்ளியில் இச் சார்பு முடிவுறா தடவைகள் தொடர்ந்து வகையிடக் கூடியது எனில், இச் சார்பின் டெய்லர் தொடர் கீழ்க்கண்ட அடுக்குத் தொடராக அமையும்:

${\displaystyle f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}$

இதனைக் கூடுதல் குறியீட்டைப் பயன்படுத்திப் பின்வருமாறு தரலாம்:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}$

• n! - n இன் தொடர் பெருக்கம்.
• ƒ ⁽ⁿ⁾(a) - a புள்ளியில், சார்பு ƒ இன் n ஆம் வகைக்கெழு.
• ƒ இன் பூச்சிய வரிசை வகைக்கெழு ƒ மற்றும் (x − a)⁰ =1, 0! = 1.
• a = 0 எனில், இத் தொடர் மெக்லாரின் தொடர் எனப்படும்.

ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையின் மெக்லாரின் தொடர் அதே பல்லுறுப்புக்கோவைதான்.

a = 0 இல் (1 − x)⁻¹ இன் மெக்லாரின் தொடர் பின்வரும் பெருக்குத் தொடர் ஆகும்:

${\displaystyle 1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots \!}$

எனவே a = 1 இல் x⁻¹ இன் டெயிலர் தொடர்:

${\displaystyle 1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .\!}$

மேலே தரப்பட்ட மெக்லாரின் தொடரைத் தொகையிட்டால் log(1 − x) இன் மெக்லாரின் தொடரைக் காணலாம் (இங்கு log என்பது இயல் மடக்கை):

${\displaystyle -x-{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{3}}x^{3}-{\frac {1}{4}}x^{4}-\cdots \!}$

இதன்படி, log(x) at a = 1 இல் log(x) இன் டெய்லர் தொடர்:

${\displaystyle (x-1)-{\frac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\frac {1}{3}}(x-1)^{3}-{\frac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,\!}$

பொதுமைப்படுத்த a = x₀ இல் log(x) இன் டெய்லர் தொடர்:

${\displaystyle \log(x_{0})+{\frac {1}{x_{0}}}(x-x_{0})-{\frac {1}{x_{0}^{2}}}{\frac {(x-x_{0})^{2}}{2}}+\cdots .}$

a = 0 இல், அடுக்குக்குறிச் சார்பு e^x இன் டெய்லர் விரிவு:

${\displaystyle 1+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{120}}+\cdots \!=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}.}$

• Milton Abramowitz; Irene Stegun (1970), Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover Publications, Ninth printing
• Thomas, George B. Jr.; Finney, Ross L. (1996), Calculus and Analytic Geometry (9th ed.), Addison Wesley, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-201-53174-7
• Greenberg, Michael (1998), Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.), Prentice Hall, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-13-321431-1

• Hazewinkel, Michiel, தொகுப்பாசிரியர். (2001), "Taylor series", Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=p/t092320
• Weisstein, Eric W., "Taylor Series", MathWorld.
• Madhava of Sangamagramma
• Taylor Series Representation Module by John H. Mathews
• "Discussion of the Parker-Sochacki Method"
• Another Taylor visualisation — where you can choose the point of the approximation and the number of derivatives
• Taylor series revisited for numerical methods at Numerical Methods for the STEM Undergraduate
• Cinderella 2: Taylor expansion
• Taylor series
• Inverse trigonometric functions Taylor series