அடுக்குத் தொடர் (கணிதம்)

கணிதத்தில் அடுக்குத் தொடர் (power series) என்பது கீழ்க்காணும் வடிவில் அமையும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும்:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-c\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-c)^{1}

+a_{2}(x-c)^{2}+a_{3}(x-c)^{3}+\cdots

இத் தொடர் ஒரு மாறியிலமைந்த அடுக்குத் தொடர்.

இதில்:

a_n n ஆம் உறுப்பின் கெழு;

c ஒரு மாறிலி;

x ஆனது c இன் மதிப்பைச் சுற்றி மாறுபடும். பொதுவாக, ஒரு சார்பின் டெய்லர் தொடராகவே ஒரு அடுக்குத் தொடர் அமையும்.

பெரும்பாலான சமயங்களில் c இன் மதிப்பு பூச்சியமாக அமையும். அப்போது அடுக்குத் தொடரின் வடிவம்:

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots .

எடுத்துக்காட்டுகள்

அடுக்குக்குறிச் சார்பும் (நீலம்) அதன் மெக்லாரின் தொடரின் முதல் n+1 உறுப்புகளின் கூடுதலும் (சிவப்பு).

எந்தவொரு பல்லுறுப்புக்கோவையையும் ஒரு மையம் c உடன் அடுக்குத் தொடராக எளிதாக எழுத முடியும்.

f(x)=x^{2}+2x+3

என்ற பல்லுறுப்புக்கோவையை மையம்

c=0

எனக் கொண்டு பின்வரும் அடுக்குத் தொடராக எழுதலாம்:

f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,

அல்லது மையத்தை $c=1$ எனக்கொண்டால்:

f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}

+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,

பெருக்குத் தொடரின் வடிவம்:

{\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,

, இவ் வாய்ப்பாடு

|x|<1

எனும் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே உண்மையாகும்.

அடுக்குக்குறிச் சார்பின் தொடர்:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,

சைன் சார்பின் தொடர்:

\sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,

இத் தொடர் x இன் அமைத்து மெய்மதிப்புகளுக்கும் பொருந்தும்.

அடுக்குத் தொடரில் எதிர் எண்கள் மாறியின் அடுக்குகளாக இருக்க முடியாது. எடுத்துக்காட்டாக பின்வருவது அடுக்குத் தொடராகாது:

1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots

இதேபோல $x^{1/2}$ போன்ற பின்ன அடுக்குகளும் இருக்காது. மேலும் கெழுக்கள் மாறி $x$ ஐச் சார்ந்தவையாக இருக்காது. எடுத்துக்காட்டாக கீழே தரப்படுவது அடுக்குத் தொடர் அல்ல:

\sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,

கணிதச் செயல்கள்

கூட்டலும் கழித்தலும்

f , g ஆகிய இரு சார்புகள் c எனும் ஒரே மையத்தைக் கொண்டு அடுக்குத் தொடர்களாக எழுதப்பட்டால், அவற்றின் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலை உறுப்புவாரிக் கூட்டல் மற்றும் கழித்தலாகச் செய்யலாம்.

f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}

g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}

எனில்:

f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-c)^{n}.

பெருக்கலும் வகுத்தலும்

f(x)g(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)

=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}

=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)(x-c)^{n}.

{f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}

f(x)=\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}\right)

வகையிடலும் தொகையிடலும்

அடுக்குத் தொடராக எழுதப்படும் சார்பின் வகைக்கெழு மற்றும் தொகையீடு

f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}

\int f(x)\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.

மேற்கோள்கள்

Solomentsev, E.D. (2001), "Power series", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-1556080104, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Power_series&oldid=15309

வெளி இணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Formal Power Series", MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Power Series", MathWorld.
Complex Power Series Module by John H. Mathews
Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.