লেওনার্ড অয়লার

অয়লারের প্রতি শ্রদ্ধা প্রদর্শন করে ছাপানো পুরনো সুইস ১০ ফ্রাঁ এর নোট

অয়লার এর বাবা ছিলেন পল অয়লার। তিনি ছিলেন রিফর্মড চার্চের একজন যাজক। মা ছিলেন মার্গারিট ব্রুকার, তিনিও ছিলেন একজন যাজকেরই মেয়ে। অয়লারের ছোট দুই বোন ছিল, আন্না মারিয়া এবং মারিয়া ম্যাগডালেনা। অয়লারের বয়স যখন এক বছর, তখন অয়লার পরিবার ব্যাসেল ছেড়ে রাইহেনে বসবাস করতে শুরু করেন এবং সেখানেই শৈশব কাটান অয়লার। পল অয়লার ছিলেন বের্নুলি পরিবারের—ইয়োহান বের্নুলির পারিবারিক বন্ধু, যিনি সে সময়ে ইউরোপের শ্রেষ্ঠ গণিতবিদ বিবেচিত ছিলেন। বের্নুলি তরুণ অয়লারের ওপর গভীর প্রভাব রাখেন। প্রাথমিক শিক্ষার জন্য অয়লারকে ব্যাসেলে তার মাতামহের কাছে পাঠানো হয়েছিল। মাত্র ১৩ বছর বয়সে তিনি ব্যাসেল বিশ্ববিদ্যালয়ে ভর্তি হন এবং ১৭২৩ সালে তিনি দেকার্ত ও নিউটনের দার্শনিক ধারণাসমূহের তুলনামুলক বিশ্লেষণ করে দর্শনে মাস্টার্স ডিগ্রী অর্জন করেন। এ সময়ে তিনি ইয়োহান বের্নুলির কাছে প্রতি শনিবার বিকেলে পড়তে যেতেন, যিনি তার ছাত্রের অসাধারণ গাণিতিক প্রতিভা বুঝতে পারেন।[3] তার পিতার ইচ্ছানুযায়ী ধর্মযাজক হবার লক্ষ্যে এ সময় তিনি ধর্মতত্ত্ব, গ্রীক ও হিব্রু নিয়ে পড়াশোনা শুরু করেন, তবে বের্নুলি পল অয়লারকে বোঝান যে তার পুত্র শ্রেষ্ঠ গণিতবিদদের সারিতে স্থান করে নেবার জন্যেই জন্মগ্রহণ করেছে। বেরনুলির সাহায্যে ১৭২৬ সালে অয়লার বিশ্ববিদ্যালয়ের শিক্ষা সমাপ্ত করেন এবং ডি সোনো শিরোনামে শব্দ সঞ্চালনের ওপর পি.এইচ.ডি সম্পন্ন করেন।[4] ১৭২৭ সালে 'জাহাজের পালের সবচেয়ে ভালো সন্নিবেশ কিভাবে করা যায়' তার ওপর একটি প্রবন্ধ লিখে প্যারিস আকাডেমির প্রাইজ প্রবলেম প্রতিযোগিতাতে জমা দেন গ্র্যান্ড প্রাইজের জন্য। সে বছর প্রথম পুরস্কার পেয়েছিলেন নেভাল আর্কিটেকচার এর জনক পিয়েরে বুগুয়ের। অয়লার লাভ করেন দ্বিতীয় স্থান। পরবর্তীকালে অয়লার তার জীবনে মোট ১২ বার এই পুরস্কার পেয়েছিলেন।[5]

এ সময়ে ইয়োহান বের্নুলির দুই পুত্র দানিয়েল ও নিকোলাস, সেন্ট পিতেরবুর্গে অবস্থিত ইমপেরিয়াল রাশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্সেসে কাজ করছিলেন। ১৭২৬ সালের জুলাই মাসে নিকোলাস রাশিয়ায় অবস্থানের এক বৎসরকাল অতিক্রান্ত হবার পর অ্যাপেন্ডিসাইটিসে আক্রান্ত হয়ে মৃত্যুবরণ করেন। দানিয়েল তার ভাইয়ের গণিত/পদার্থবিজ্ঞান বিভাগের পদটিতে নিয়োগ পাবার পর শারীরতত্ত্ব বিভাগে তার ছেড়ে আসা পদটির জন্যে সুহৃদ অয়লারের নাম সুপারিশ করেন। ১৭২৬ এর নভেম্বরে অয়লার আগ্রহের সাথেই আমন্ত্রণটি গ্রহণ করেন, কিন্তু মধ্যবর্তী সময়ে ইউনিভার্সিটি অফ বাসেলে পদার্থবিজ্ঞানে অধ্যাপক হবার ব্যর্থ চেষ্টা করে তার সাংক্‌ত পিতেরবুর্গে যোগদান করতে একটু বিলম্ব হয়।[5]

১৯৫৭ সালে প্রাক্তন সোভিয়েত ইউনিয়ন প্রকাশিত অয়লারের ২৫০তম জন্মবার্ষিকীর স্মারক ডাকটিকেট। এতে লেখা ছিল: মহান গণিতজ্ঞ ও বিদ্যানুরাগী লিউনার্ট অয়লারের ২৫০ তম জন্মবার্ষিকীতে।

অয়লার ১৭২৭ সালের ১৭ মে রাশিয়ার রাজধানীতে পদার্পণ করেন। তিনি চিকিৎসাবিজ্ঞান বিভাগের কনিষ্ঠ পদ হতে পদোন্নতিসহ গণিত বিভাগে যোগদান করেন। তিনি দানিয়েল বের্নুলির সাথে একই আবাসস্থলে অবস্থান করতেন এবং তারা যৌথভাবে বহু গবেষণায় অংশ নিয়েছেন। অয়লার রুশ ভাষায় দক্ষতা অর্জন করেন এবং সাংক্‌ত পিতেরবুর্গে থিতু হন। তাছাড়া তিনি রুশ নৌবাহিনীতে চিকিৎসকের কাজেও নিয়োজিত ছিলেন।[5]

পিটার দ্য গ্রেট প্রতিষ্ঠিত সাংক্‌ত পিতেরবুর্গের একাডেমিটির লক্ষ্য ছিল রাশিয়ার শিক্ষার উন্নতিসাধন এবং পশ্চিম-ইউরোপের সাথে বৈজ্ঞানিক পার্থক্য কমিয়ে আনা। তাই এ প্রতিষ্ঠানটিতে অয়লারের মত বিদেশী জ্ঞানসাধকদের জন্যে বিশেষভাবে আকর্ষণীয় করে পরিচালনা করা হত। একাডেমির যথেষ্ট অর্থনৈতিক স্বচ্ছলতা ছিল এবং এর ছিল একটি সমৃদ্ধ লাইব্রেরি যা কিনা স্বয়ং পিটারের ও রাশিয়ার অভিজাত ব্যক্তিদের ব্যক্তিগত লাইব্রেরির দানে গড়ে উঠেছিল। শিক্ষকদের ওপর ক্লাসের চাপ কমানোর জন্যে খুব অল্প সংখ্যক ছাত্র ভর্তি করা হত এবং একাডেমি তার বিভিন্ন অনুষদের শিক্ষকদের বিভিন্ন বৈজ্ঞানিক প্রশ্ন নিয়ে চিন্তাভাবনা করার মত পর্যাপ্ত সময় ও স্বাধীনতা প্রদান করত।[5]

একাডেমির পৃষ্ঠপোষক ক্যাথারিন I, যিনি তার পরলোকগত স্বামীর প্রগতিশীল নীতি অনুসরণ করে আসছিলেন, অয়লারের আগমনের দিন তিনি মৃত্যুবরণ করেন। রাশিয়ার অভিজাত সমাজ সিংহাসনের উত্তরাধিকারী পিটার II এর ওপর প্রভাব বিস্তার করে। তারা একাডেমির বিদেশী গবেষকদের ওপর সন্দিগ্ধু হয়ে ওঠে এবং এতে অনুদান কমিয়ে দিয়ে এবং অন্যান্য নানা উপায়ে অয়লার ও তার সহকর্মীদের জন্যে অসুবিধের সৃষ্টি করেন।

তবে পিটার II এর মৃত্যুর পর অবস্থার কিছুটা উন্নতি ঘটে, এবং অয়লার দ্রুত পদোন্নতি পেয়ে ১৭৩১ সালে পদার্থবিজ্ঞানের অধ্যাপকে পরিণত হন। দু' বছর পর দানিয়েল বের্নুলি সেন্সরশিপ ও বৈরিতায় বিরক্ত হয়ে সাংক্‌ত পিতেরবুর্গ ছেড়ে বাসেলে চলে যান, এবং অয়লার গণিত বিভাগের বিভাগীয় প্রধান হিসেবে তার উত্তরসূরি মনোনীত হন।[5]

৭ জানুয়ারি ১৭৩৪ এ তিনি ক্যাথারিনা সেল্লের সাথে বিবাহবন্ধনে আবদ্ধ হন, যিনি ছিলেন একাডেমি জিমন্যাসিয়ামের চিত্রকর গিওর্গ সেল্লের কন্যা।[6] এই তরুণ দম্পতি নেভা নদীর পাড়ে একটি বাড়ি ক্রয় করে সংসার শুরু করেন। তাদের তেরটি সন্তানের মধ্যে কেবল পাঁচজন শৈশব উত্তীর্ণ করতে সক্ষম হয়।[7]

বিলুপ্ত জার্মান ডেমোক্রেটিক রিপাবলিকের স্টাম্প, অয়লারের ২০০ তম মৃত্যুবার্ষিকী উপলক্ষে শ্রদ্ধা জানিয়ে প্রকাশিত। স্টাম্পটির মধ্যভাগে লেখা তার বিখ্যাত পলিহেড্রা সূত্র ${\displaystyle V+F-E=2}$.

রাশিয়ার ক্রমাবনতিশীল রাজনৈতিক পরিস্থিতিতে উদ্বিগ্ন হয়ে অয়লার ১৯ জুন ১৭৪১ সালে সাংক্‌ত পিতেরবুর্গ ছেড়ে বার্লিন একাডেমিতে যোগদান করেন, যা ফ্রেডেরিক দ্য গ্রেট অফ প্রুসিয়া তাকে প্রস্তাব করেছিলেন। তিনি দীর্ঘ পঁচিশ বছর বার্লিনে অবস্থান করেন এবং ৩৮০ টির বেশি প্রবন্ধ রচনা করেন। বার্লিনেই তিনি তার শ্রেষ্ঠ দু'টি কাজ সম্পন্ন করেন: Introductio in analysin infinitorum, ১৭৪৮ সালে প্রকাশিত ফাংশানের ওপর একটি রচনা এবং Institutiones calculi differentialis,[8] ১৭৫৫ সালে ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাসের ওপর রচিত প্রবন্ধ।[9] ১৭৫৫ সালে তিনি রয়েল সুইডিশ একাডেমি অফ সায়েন্সেস এর বিদেশী সভ্য নির্বাচিত হন।

পাশাপাশি অয়লার ফ্রেডেরিকের ভাগ্নী রাজকুমারী আনয়াল্ট-দেসাঁউকে শিক্ষাদানে নিযুক্ত হন। অয়লার তাকে প্রায় ২০০ টি চিঠি লেখেন, যা পরবর্তীকালে একত্রিত হয়ে একটি বহুল-বিক্রিত গ্রন্থে রূপায়িত হয়, যার নাম ছিল প্রাকৃতিক দর্শনের বিবিধ বিষয়ে জার্মান রাজকন্যাকে লেখা অয়লারের পত্রগুচ্ছ। বইটিতে পদার্থবিজ্ঞান এবং গণিত সংক্রান্ত বিভিন্ন বিষয়ে অয়লারের দৃষ্টিভঙ্গির পরিচয় মেলে, পাশাপাশি অয়লারের ব্যক্তিত্ব ও ধর্মবিশ্বাস সম্বন্ধেও অন্তর্দৃষ্টি লাভ করা যায়। বইটি তার যেকোন গাণিতিক প্রকাশনার চাইতে অধিক পঠিত পুস্তকে পরিণত হয়, এবং এটি ইউরোপজুড়ে এবং আমেরিকাতে প্রকাশিত হয়। এই 'চিঠিগুলোর' জনপ্রিয়তা বৈজ্ঞানিক বিষয় সাধারণ মানুষের জন্যে বোধগম্যরূপে উপস্থাপনের ব্যাপারে অয়লারের প্রতিভার পরিচায়ক, যা ছিল তার মতো গবেষক বৈজ্ঞানিকদের মধ্যে বিরল একটি গুণ।[9]

একাডেমির সম্মান বৃদ্ধিতে অনন্য ভূমিকা পালন করা সত্ত্বেও শেষ পর্যন্ত অয়লারকে বার্লিন ছাড়তে বাধ্য করা হয়। তার একটি কারণ ছিল ফ্রেডেরিকের সাথে ব্যক্তিত্বের সংঘর্ষ, যিনি অয়লারকে স্থূল বিবেচনা করতেন, বিশেষ করে জার্মান রাজের চক্রের অন্যান্য দার্শনিকদের তুলনায়। ফ্রেডেরিকের নিয়োগপ্রাপ্তদের মধ্যে ছিলেন ভলতেয়ার, এবং এই ফরাসি দার্শনিক রাজার সামাজিক গন্ডিতে একটি বিশেষ সম্মানের অধিকারী ছিলেন। অয়লার, যিনি ছিলেন একজন সাদাসিধে ও ধর্মভীরু মানুষ, তিনি তার বিশ্বাস ও রুচির দিক দিয়ে ছিলেন সাধারণ। তিনি নানাভাবে ভলতেয়ারের ঠিক বিপরীত ছিলেন। অয়লারের বাগ্মিতার সুখ্যাতি ছিল না, তথাপি তিনি এমন সব বিষয়ে বিতর্কে জড়িয়ে পড়তেন যে বিষয়ে তার জ্ঞান ছিল খুবই সামান্য, যার ফলে তিনি ভলতেয়ারের ক্ষুরধার বুদ্ধির নিয়মিত শিকারে পরিণত হতেন।[9] ফ্রেডেরিকও অয়লারের ফলিত প্রকৌশল বিদ্যা সম্বন্ধে এভাবে হতাশা ব্যক্ত করেন:

১৭৫৩ সালে ইমানুয়েল হ্যান্ডমান অঙ্কিত প্রতিকৃতি। এই প্রতিকৃতি থেকে তার ডান নেত্রপল্লবের অসুস্থতা আঁচ করতে পারা যায় এবং সম্ভাব্য নকুলান্ধতারও আভাস পাওয়া যায়। তার বাম চোখ সুস্থই দেখাচ্ছে, তবে পরবর্তীতে তাতে ছানি পড়ে।[11]

অয়লারের দৃষ্টিশক্তি তার কর্মজীবন জুড়ে ক্রমাগত হ্রাস পেতে থাকে। তিন বছর দুরারোগ্য জ্বরে ভোগাড় পর ১৭৩৫ সালে তিনি তার ডান চোখের দৃষ্টিশক্তি প্রায় পুরোপুরি হারিয়ে ফেলেন, তবে অয়লার এর জন্যে সাংক্‌ত পিতেরবুর্গ একাডেমিতে তার মানচিত্রাঙ্কণের কষ্টকর অভিজ্ঞাতাকেই দায়ী করতেন। তার ডান চোখের দৃষ্টিশক্তি বার্লিনে অবস্থানকালে আরও কমতে থাকে এবং অবস্থা এমন পর্যায়ে পৌঁছায় যে ফ্রেডেরিক তাকে "সাইক্লপ" হিসেবে অভিহিত করতেন। অয়লার পরবর্তীকালে তার সুস্থ বামচোখেও ছানিতে আক্রান্ত হন এবং ১৭৬৬ সালে অসুখটি ধরা পরার কয়েক সপ্তাহের মধ্যেই প্রায় পুরোপুরি অন্ধ হয়ে যান। তবে তার অসুস্থতা তার কাজের ওপর অল্পই প্রভাব ফেলে, দৃষ্টিশক্তির অভাব তিনি পুষিয়ে নিয়েছিলেন তার মানসিক হিসাবনিকাশে দক্ষতা ও অসাধারণ স্মৃতিশক্তি দিয়ে। দৃষ্টান্তস্বরূপ, অয়লার ভার্জিল রচিত ঈনীড কাব্যগ্রন্থ শুরু থেকে শেষ পর্যন্ত না থেমে আবৃত্তি করতে পারতেন এবং সে সংস্করণের প্রতিটি পৃষ্ঠার প্রথম ও শেষ বাক্য কি ছিল তাও তিনি বলতে পারতেন। অনুলেখকদের সহযোগিতার ফলে বিভিন্ন শাখায় অয়লারের উৎপাদনশীলতা প্রকৃতপক্ষে বৃদ্ধি পায়। ১৭৭৫ সালে তিনি প্রায় প্রতি সপ্তাহে একটি করে গাণিতিক গবেষণা প্রবন্ধ রচনা করতেন।[12]

ক্যাথারিন দ্য গ্রেটের সিংহাসনে আরোহণের পর রাশিয়ার পরিস্থিতির উন্নতি হতে শুরু করে এবং ১৭৬৬ সালে অয়লার সাংক্‌ত পিতেরবুর্গে একাডেমিতে ফিরে যাবার আমন্ত্রণ গ্রহণ করেন এবং তার জীবনের বাকি অংশ রাশিয়াতেই অবস্থান করেন। তার দ্বিতীয় দফায় রাশিয়ায় অবস্থান ছিল বেদনাভারাক্রান্ত। সাংক্‌ত পিতেরবুর্গে ১৭৭১ সালের এক অগ্নিকান্ডে তার বাড়ি ভস্মীভূত হয় এবং সে যাত্রা কোন মতে তার প্রাণ রক্ষা হয়। ১৭৭৩ সালে তিনি তার স্ত্রী সুইস চিত্রকর গিওর্গ সেল্লের কন্যা ক্যাথারিন মাত্র ৪০ বছর বয়সে মৃত্যুবরণ করেন। প্রথম পক্ষের স্ত্রীর মৃত্যুর তিন বছর পর অয়লার তার স্ত্রীর সৎ বোন সালোম আবিজিল সেল্লেকে বিয়ে করেন।[13] অয়লারের মৃত্যু পর্যন্ত তাদের দাম্পত্য জীবন স্থায়ী হয়েছিল।

১৮ সেপ্টেম্বর ১৭৮৩ সালে পরিবারের সদস্যদের সাথে মধ্যাহ্নভোজ সমাপ্ত করার পর আন্দ্রে লেক্সেলের সাথে নতুন আবিষ্কৃত ইউরেনাস এবং তার কক্ষপথ নিয়ে আলোচনা করবার সময় অয়লার মস্তিষ্কে রক্তক্ষরণের শিকার হন এবং কয়েক ঘণ্টার মধ্যেই মৃত্যুবরণ করেন।[14] জ্যাকব ফন স্টেলিন রাশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্সেসের পক্ষে একটি সংক্ষিপ্ত শোকবার্তা রচনা করেন এবং একটি শোকগাঁথা রচনা করেছিলেন রুশ গণিতবিদ ও অয়লারের শিষ্য নিকোলাস ফাস,[15] যিনি অয়লারের অন্ত্যেষ্টিক্রিয়া অনুষ্ঠানে তা পাঠ করেন। ফরাসি একাডেমির পক্ষে লিখিত শোকবার্তায় ফরাসি গণিতবিদ ও দার্শনিক মার্কুই দ্য কন্ডরসেট মন্তব্য করেন:

তাকে ভাসিলিয়েভস্কি দ্বীপের স্মলেনস্ক লুথেরান সমাধিক্ষেত্রে তার মৃতা পত্নীর পাশে সমাহিত করা হয়। ১৭৮৫ সালে রাশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্সেস পরিচালকের আসনের প্বার্শে অয়লারের একটি আবক্ষ মূর্তি স্থাপন করে। ১৮৩৭ সালে রাশিয়ান একাডেমি অফ সায়েন্সেস তার কবরে একটি সমাধিফলক স্থাপন করে, যা ১৯৫৬ সালে অয়লারের ২৫০ তম জন্মবার্ষিকীতে তার দেহাবশেষ সহ XVIII শতাব্দীর সমাধিক্ষেত্র আলেক্সান্ডার নেভস্কি লাভ্রায় স্থানান্তরিত করা হয়।

আলেক্সান্ডার নেভস্কি লাভ্রায় অয়লারের কবর

অয়লার নিজের লেখা বিপুল পরিমাণ ও সুপ্রচারিত পাঠ্যপুস্তকে বেশ কিছু নতুন প্রতীকের প্রচলন ও জনপ্রিয়করণ করেন। এর মধ্যে সবচেয়ে উল্লেখযোগ্য হল তিনি প্রথম ফাংশনের[17] ধারণা প্রচলন করেন এবং f(x) চিহ্ন দ্বারা f কে x এর ফাংশন রূপে প্রকাশ করেন। তিনি ত্রিকোণমিতিক ফাংশন প্রকাশের আধুনিক রীতিটিরও প্রচলন করেন, e দ্বারা স্বাভাবিক লগারিদমের ভিত্তি (যা বর্তমানে অয়লারের সংখ্যা হিসাবেও পরিচিত), গ্রিক বর্ণ Σ দ্বারা যোগফল এবং i দ্বারা কাল্পনিক সংখ্যা প্রকাশের প্রচলন করেন।[18] গ্রিক বর্ণ 'π দ্বারা বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত প্রকাশের রীতিটিও তিনি জনপ্রিয় করে তোলেন, তবে এ প্রতীকটি তার আবিষ্কৃত নয়।[19]

ইনফিনিটসিমাল ক্যালকুলাসের গড়ে ওঠা ছিল ১৮ শতকের গাণিতিক গবেষণার অগ্রদূত, এবং বের্নুলিরা—যারা ছিলেন অয়লারের পারিবারিক বন্ধু—এ ক্ষেত্রে গবেষণার পথিকৃৎ ছিলেন। তাদের প্রভাবেই ক্যালকুলাস অধ্যয়ন অয়লারের কাজের কেন্দ্রবিন্দুতে পরিণত হয়। যদিও অয়লারের সব প্রমাণই আধুনিক গাণিতিক কড়াকড়ির মানদন্ডে উত্তীর্ণ হয়নি, তথাপি তার ধারণা থেকে অসাধারণ অগ্রগতি সাধিত হয়েছে।[20]

অয়লার বিশ্লেষণে খ্যাতিমান হয়ে আছেন তার শক্তিধারার পুনঃপুনঃ ব্যবহার এবং অগ্রগতি সাধনের মাধ্যমে, যেমন

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{0!}}+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}\right).}$

বিশেষভাবে উল্লেখযোগ্য, অয়লার e এবং বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশানের শক্তি ধারায় বিস্তৃতি সরাসরি প্রমাণ করেছিলেন (নিউটন এবং লিবনিজ ১৬৭০ থেকে ১৬৮০ এর পরোক্ষ প্রমাণ করেছিলেন)। শক্তি ধারার সাহসী ব্যবহারের মাধ্যমে তিনি ১৭৩৫ সালে বিখ্যাত ব্যাসেল সমস্যা সমাধান করতে সক্ষম হন (১৭৪১ সালে তিনি এর আরো বিস্তারিত একটি প্রমাণ প্রদান করেন):[20]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n^{2}}=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{2}}}\right)={\frac {\pi ^{2}}{6}}.}$

অয়লারের সূত্রে জ্যামিতিক নমুনা

অয়লার বিশ্লেষণী প্রমাণে সূচকীয় ফাংশন এবং লগারিদমের ব্যবহারের সূচনা করেন। তিনি শক্তি ধারার ব্যবহার করে বহুবিধ লগারিদমীয় ফাংশন আবিষ্কার করেন এবং সফলভাবে ঋণাত্মক ও জটিল সংখ্যার লগারিদম সজ্ঞায়িত করেন, যা লগারিদমের গাণিতিক ব্যবহারে বহুগুণ বাড়িয়ে দেয়।[18] এছাড়া তিনি জটিল সংখ্যার সূচকীয় ফাংশনকে সজ্ঞাবদ্ধ করেন এবং এর সাথে ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের সম্পর্ক আবিষ্কার করেন। যেকোন বাস্তব সংখ্যা φ এর জন্যে অয়লারের সূত্রানুসারে জটিল সূচকীয় ফাংশন নিম্নলিখিত শর্তটি মেনে চলে

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .\,}$

উপরিউক্ত সূত্রটির একটি বিশেষ ক্ষেত্র হল অয়লারের অভেদ,

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0\,}$

যাকে রিচার্ড ফাইনম্যান গণিতের আকর্ষনীয়তম সমীকরণ" হিসেবে মন্তব্য করেছেন, কারণ এতে একই সঙ্গে যোগ, গুণন, সূচকীয় এবং সমতা চিহ্ন ব্যবহৃত হয়েছে এবং সাথে গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ ধ্রুবক 0, 1, e, i এবং π ব্যবহৃত হয়েছে।[21] ১৯৮৮ সালে ম্যাথেমেটিকাল ইনটেলিজেন্সারের পাঠকেরা এটিকে "সর্বকালের সবচেয়ে সুন্দর গাণিতিক সমীকরণ" হিসাবে ভোটের মাধ্যমে নির্বাচিত করে।[22] অয়লার সেই নির্বাচনের সেরা পাঁচটি সমীকরণের তিনটির সাথেই যুক্ত ছিলেন।[22]

দ্য ময়ভার সূত্র অয়লারের সূত্রের সরাসরি উপজাত।

এ ছাড়াও অয়লার উচ্চতর তুরীয় ফাংশনের ধারণাটি বিস্তৃত করেন গামা ফাংশন আবিষ্কার করে এবং চতুর্ঘাত সমীকরণ সমাধানের একটি নতুন পন্থা তৈরি করেন। তিনি জটিল সীমা বিশিষ্ট সমাকলন করবারও একটি উপায় আবিষ্কার করেন, যা আধুনিক কমপ্লেক্স এনালিসিসের পথ প্রদর্শন করে। তার আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অবদান ছিল বৈচিত্রের ক্যালকুলাস, যার একটি বিখ্যাত ফলাফল অয়লার লাগ্রাঞ্জ সমীকরণ।

অয়লার বিশ্লেষণী পদ্ধতির ব্যবহারের মাধ্যমে সংখ্যাতাত্তিক সমস্যা সমাধানের পথ দেখান। এর মাধ্যমে তিনি গণিতের দু'টি ভিন্ন শাখা একত্রিত করেন এবং বিশ্লেষণী সংখ্যা তত্ত্ব নামক একটি নতুন শাখার সূচনা করেন। এ নতুন শাখাটির ভিত্তি তৈরি করবার সময় অয়লার অধিজ্যামিতিক ধারা, q-ধারা, অধিবৃত্তীয় ত্রিকোণমিতিক ধারা এবং অবিরত ভগ্নাংশের বিশ্লেষণী তত্ত্বের সূচনা করেন। উদাহরণ হিসেবে বলা যায়, মৌলিক সংখ্যার অসীমতা প্রমাণ করেন হারমনিক ধারার অপসারিতা ব্যবহার করে, এবং তিনি মৌলিক সংখ্যার বণ্টন অনুধাবনের লক্ষ্যে বিশ্লেষণী পদ্ধতি ব্যবহার করেন। অয়লারের এ কাজের ওপর ভিত্তি করে গড়ে ওঠে মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব।[23]

সংখ্যাতত্ত্বে অয়লারের আকর্ষণের কারণ ছিলেন ক্রিস্টিয়ান গোল্ডবাখ, তার সাংক্‌ত পিতেরবুর্গে একাডেমির সুহৃদ। সংখ্যাতত্ত্বে অয়লারের প্রাথমিক অনেক কাজেরই ভিত্তি ছিল সংখ্যাতত্ত্বের আরেক দিকপাল পিয়ে দ্য ফার্মার কাজ। অয়লার ফার্মার কিছু কাজকে বিস্তৃত করেন এবং কিছু অনুমান ভুল প্রমাণিত করেন।

অয়লার মৌলিক সংখ্যার বণ্টনের প্রকৃতির সাথে বিশ্লেষণের যোগসূত্র স্থাপন করেন। তিনি প্রমাণ করেন যে, মৌলিক সংখ্যার বিপরীতকের যোগফল অপসারী হয়। এটি প্রমাণ করতে গিয়ে তিনি রিম্যান জিটা ফাংশন ও মৌলিক সংখ্যার মাঝে সম্বন্ধ খুঁজে পান; যা রিম্যান জিটা ফাংশনের অয়লার উৎপাদক সূত্র নামে পরিচিত।

অয়লার নিউটনের অভেদ, ফার্মার ছোট্ট উপপাদ্য, ফার্মার দুই বর্গের সমষ্টির উপপাদ্য প্রমাণ করেন এবং লাগ্রাঞ্জের চার বর্গ তত্ত্বে উল্লেখযোগ্য ভূমিকা রাখেন। তিনি টশিয়েন্ট ফাংশন φ(n) উদ্ভাবন করেন যা হল কোন পূর্ণসংখ্যা n এর সমান বা তার চাইতে ছোট এবং n এর সাথে সহমৌলিক এমন সংখ্যার সংখ্যা। এই ফাংশনের বিশেষত্ব ব্যবহার করে তিনি ফার্মার ছোট্ট উপপাদ্যের সাধারণীকরণ করেন, যা বর্তমানে অয়লারের তত্ত্ব নামে সুবিদিত। তিনি নিখুঁত সংখ্যার গবেষণায় নতুন মাত্রা যোগ করেন, গণিতের যে বিষয়টি ইউক্লিডের সময় থেকেই গণিতবিদদের বিশেষ আকর্ষণের বস্তু। তাছাড়া অয়লার মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব উন্নয়নে ভূমিকা রাখেন, এবং বর্গীয় বিপরীততার নিয়মটি অনুমান করেন। এ দু'টি ধারণা সংখ্যাতত্ত্বের ভিত্তিরূপ তত্ত্ব হিসাবে বিবেচিত এবং তার এই ধারণা পরবর্তী সময়ে গাউসের কাজের পথ প্রশস্ত করে। [24]

অয়লারের সময়কালীন কনিসবার্গের মানচিত্রে সাতটি সেতুর অবস্থান, প্রেজেল নদী ও সেতুগুলো চিহ্নিত করা।

১৭৩৬ সালে অয়লার কনিসবার্গের সাতটি সেতুর সমস্যাটি সমাধান করেন।[25] প্রুসিয়ার অন্তর্গত কনিসবার্গ শহরটি ছিল প্রেজেল নদীর তীরে এবং সেখানকার দু'টি বৃহৎ দ্বীপ সাতটি সেতুর মাধ্যমে সংযুক্ত ছিল। সমস্যাটি ছিল এরকম যে, সাতটি সেতুর প্রত্যেকটি ঠিক একবার ব্যবহার করে শুরুর অবস্থানে ফেরত আসা সম্ভব কিনা। তা সম্ভব নয়: কারণ তা অয়লার বর্তনী তৈরি করে না। এ সমাধানটিকে গ্রাফ তত্ত্বের প্রথম উপপাদ্য বিবেচনা করা হয়, বিশেষত সমতলীয় গ্রাফ তত্ত্বের।[25]

অয়লার যেকোন উত্তল বহতলকের শীর্ষ, ধার এবং তলের মধ্যে একটি সম্পর্কসূচক সমীকরণ আবিষ্কার করেন V − E + F = 2,[26] যা সমতলীয় গ্রাফের ক্ষেত্রেও সত্য। সমীকরণটির ধ্রুবকটি তার গ্রাফের অয়লার বিশেষত্ব নামে পরিচিত, যা বস্তুটির গণের সাথে সম্পৃক্ত।[27] কশি[28] এবং লা ইলিয়ের[29] এ সমীকরণটির সাধারণীকরণ করেন, যা টপোলজি নামক গণিতের একটি নতুন শাখার সূচনা করে।

অয়লারের শ্রেষ্ঠ সাফল্যের অন্যতম ছিল বাস্তব জগতের নানান সমস্যার বিশ্লেষণী সমাধান প্রদান, এবং বের্নুলি সংখ্যা, ফুরিয়ার ধারা, ভেন চিত্র, অয়লার সংখ্যা, ধ্রুবক e এবং π, অবিরত ভগ্নাংশ এবং সমাকলনের অসংখ্য প্রয়োগ বর্ণনা। তিনি লিবনিজের ডিফারেন্সিয়াল ক্যালকুলাসের সঙ্গে নিউটনের ফ্লাক্সিয়ন পদ্ধতির গাঁটছড়া বাঁধেন এবং বাস্তব সমস্যার সমাধানের ক্যালকুলাস ব্যবহারের বিভিন্ন সহায়ক কৌশল আবিষ্কার করেন। তিনি ডিফারেন্সিয়াল সমীকরণ ব্যবহারেরও পথিকৃৎ, বিশেষ করে অয়লার-মাসকেরনির ধ্রুবকের উদ্ভাবন:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}-\ln(n)\right).}$

অয়লারের সঙ্গীতে গাণিতিক ধারণার ব্যবহারের খেয়ালী শখ ছিল। ১৭৩৯ সালে তিনি Tentamen novae theoriae musicae রচনা করেন এই আশায় যে একসময় সঙ্গীততত্ত্ব একসময় গণিতের মাঝে স্থান করে নেবে। কিন্তু তার এই বিশেষ কাজটি সেভাবে জনপ্রিয়তা পায়নি এবং এ সম্বন্ধে বলা হত এটি সঙ্গীতশিল্পীদের জন্যে একটু বেশি গাণিতিক আর গণিতবিদদের জন্যে একটু বেশি সুরেলা।[30]

চিরায়ত বলবিদ্যা

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(m\mathbf {v} )}$ নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র

চিরায়ত বলবিদ্যার ইতিহাস শাখাসমূহ স্থিতিবিদ্যা · বিশ্লেষণমূলক গতিবিদ্যা / গতিবিদ্যা · ফলিত বলবিদ্যা · মহাজাগতিক বলবিদ্যা · প্রবাহী বলবিদ্যা · কঠিন পদার্থের বলবিদ্যা · পরিসংখ্যানিক বলবিদ্যা গঠনসমূহ নিউটনীয় বলবিদ্যা ল্যাগর‍্যংগিয়ান বলবিদ্যা হ্যামিল্টনীয় বলবিদ্যা মৌলিক ধারণাসমূহ স্থান · কাল · সরণ · বেগ · দ্রুতি · ভর · ত্বরণ · মহাকর্ষ · বল · টর্ক  · যুগল · ভরবেগ · কৌণিক ভরবেগ · জড়তা · জড়তার ভ্রামক · প্রসঙ্গ কাঠামো · শক্তি · গতিশক্তি · বিভব শক্তি · কাজ · প্রধান বিষয়বস্তু দৃঢ় বস্তু · দৃঢ় বস্তুর গতিবিদ্য · গতি · নিউটনের গতিসূত্রসমূহ · নিউটনের মহাকর্ষ সূত্র · গতির সমীকরণসমূহ · জড় প্রসঙ্গ কাঠামো · অ-স্থির প্রসঙ্গ কাঠামো · ঘূর্নায়মান প্রসঙ্গ কাঠামো · ঘর্ষন বল · আপেক্ষিক বেগ · ঘর্ষন · সরল ছন্দিত স্পন্দন · ছন্দিত স্পন্দক · কম্পন · আরোপিত কম্পন · আরোপন অনুপাত · ঘুর্নন গতি · অভিন্ন চক্রাকার গতি · বিচ্ছিন্ন চক্রাকার গতি · কেন্দ্রাভিমুখী বল · কেন্দ্রাতিগ বল · ঘূর্নায়মান প্রসঙ্গ কাঠামোতে কেন্দ্রাতিগ বল · প্রতিক্রিয়াশীল কেন্দ্রাতিগ বল · কোরিয়োলি ক্রিয়া · দোলক · ঘূর্নন দ্রুতি · কৌণিক ত্বরন · কৌণিক বেগ · কৌণিক কম্পাংক · কৌণিক সরণ বিজ্ঞানীগণ আইজাক নিউটন · জেরেমিয়াহ হরক্স · লিওনার্ট অয়লার · জ্যাঁ লি রোঁ ডি আলেমবারট · আলেক্সিস ক্ল্যায়ারট · জোসেপ লুই ল্যাগর‍্যংগ · পিয়ের সিমোঁ লাপ্লাস · উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন · সিমোঁ-ডেনিস পঁয়সন

অয়লার বের্নুলির সাথে যৌথভাবে অয়লার–বের্নুলি বিম সমীকরণ তৈরি করেন, যা প্রকৌশলবিদ্যার একটি ভিত্তিপ্রস্তর হিসেবে বিবেচিত। অয়লার চিরায়ত বলবিদ্যা এবং জ্যোতির্বিদ্যায়ও তার প্রতিভার পরিচয় রাখেন। জ্যোতির্বিদ্যায় তার কাজের স্বীকৃতি হিসেবে তার ক্যারিয়ারজুড়ে বেশ কয়েকটি প্যারিস একাডেমি পুরস্কারে ভূষিত হন। তার অর্জনের মধ্যে রয়েছে ধূমকেতু ও অন্যান্য মহাকাশীয় বস্তুর কক্ষপথের নিখুঁত হিসাব, ধূমকেতুর আচরণ উপলব্ধিকরণ, এবং সূর্যের প্যারালাক্স হিসাবকরণ। লঙ্গিটিউড সারণী তৈরিতেও তার করা গণনার অবদান রয়েছে।[31]

তদু[পরি, অয়লার অপটিক্সে গুরুত্বপূর্ণ অবদান রাখেন। তিনি তার অপটিকস গ্রন্থে নিউটনের কণা তত্ত্বের সাথে দ্বিমত পোষণ করেন, যা ছিল সে সময়ের প্রতিষ্ঠিত একটি তত্ত্ব। তার ১৭৪০ সালে উপস্থাপিত প্রবন্ধ ক্রিস্টিয়ান হাইগেনের আলোর তরঙ্গ সংক্রান্ত মতবাদটি প্রতিষ্ঠিত করতে সাহায্য করে, যা আলোর কোয়ান্টাম তত্ত্বের প্রচলনের পূর্ব পর্যন্ত প্রভাবশালী ছিল।[32]

তিনি বদ্ধ রেখার মাধ্যমে সাইলোজিস্টিক কারণ নির্ণয় (১৭৬৮) তত্ত্বের জন্যেও খ্যাত। এ ধরনের চিত্রকে তার নামানুসারে অয়লার চিত্র বলা হয়।[33]