مرکزی حد مسئلہ اثباتی

اگر ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$ آزاد اور ایک جیسے توزیع شدہ تصادفی متغیر ہوں، جن میں سے ہر کا اوسط ${\displaystyle \mu }$ اور معیاری انحراف ${\displaystyle \sigma }$ ہو ${\displaystyle \ (\sigma <\infty )}$ ، تو تصادفی متغیر

${\displaystyle {\frac {X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}-n\mu }{{\sqrt {n}}\sigma }}}$

کی توزیع تقریباً معمول توزیع ہو گی۔ یعنی کسی بھی اصل اعداد a اور b کے لیے (${\displaystyle a<b}$ )

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \left(a\leq {\frac {(X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}-n\mu )}{{\sqrt {n}}\sigma }}\leq b\right)=\Phi (b)-\Phi (a)}$

جہاں

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {y^{2}}{2}}\right)dy}$

معیاری معمول تَراكُمی توزیع احتمال فنکشن ہے۔

• نمونہ اوسط
• کثیر اعداد کا قانون