تفاوت

تصادفی متغیر کا اپنی متوقع قدر سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو جانچنے کے لیے، تصادفی متغیر کا تَفاوُت استعمال ہوتا ہے۔ اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

${\displaystyle \ \mu =E(X)}$

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" ${\displaystyle \sigma }$ ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط ${\displaystyle \mu }$ کے گرد پھیلاؤ کا۔

لکھا جائے، تو X کا تَفاوُت ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ یوں تعریف کیا جاتا ہے

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=E\left((X-\mu )^{2}\right)}$

یعنی ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ہے تصادفی متغیر X کی اوسط ${\displaystyle \mu }$ سے دوری ${\displaystyle x-\mu }$ کے مربع ${\displaystyle \ (x-\mu )^{2}}$ کی اوسط۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف ${\displaystyle \sigma }$ حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ کو یوں لکھ سکتے ہیں

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=E\left((X-\mu )^{2}\right)=E(X^{2})-\mu ^{2}}$

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے ${\displaystyle \ E(X^{2})=\sum _{i}x_{i}^{2}p_{X}(x_{i})}$ غور کرو کہ ${\displaystyle \ E(X^{2})}$ متغیر ${\displaystyle \ x^{2}}$کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت دالہ" ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں اور یوں تعریف کرتے ہیں:

${\displaystyle \ p_{X}(x_{i})=\Pr(X=x_{i})}$

اس تَفاوُت (variance) کے مربع جزر کو تصادفی متغیر کا معیاری انحراف کہا جاتا ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ تصادفی متغیر کی ممکنہ اقدار کا اپنی متوقع قدر کے گرد پھیلاؤ کتنا سمجھا جا سکتا ہے۔ معیاری انحراف (standard deviation)

${\displaystyle \ {\hbox{std. dev.}}(X)={\sqrt {{\hbox{var}}(X)}}}$

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت (variance)

${\displaystyle \ {\hbox{var}}(X)=np(1-p)}$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت ${\displaystyle {\hbox{var}}(X)=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10}$ اور معیاری انحراف (standard deviation) ${\displaystyle \ {\hbox{std. dev. (X)}}=10^{\frac {1}{2}}\approx 3.16}$