تصادفی متغیر

دو چھ اطرافی طاس، سبز اور سرخ رنگ کے، کو اچھالا جاتا ہے۔

• تصادفی متغیر S سبز اور سرخ طاس کے اعداد کی جمع ہے۔ اس کا حیطہ ${\displaystyle \{2,3,\cdots ,12\}}$ ہو گا۔
• تصادفی متغیر D سبز اور سرخ طاس کے اعداد کا فرق ہے۔ اس کا حیطہ ${\displaystyle \{-5,-4,\cdots ,4,5\}}$ ہو گا۔
• تصادفی متغیر M سبز اور سرخ طاس کے اعداد کا اکبر ہے۔ اس کا حیطہ ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$ ہو گا۔

یہ تینوں تصادفی متغیر متفرد ہیں۔

تفصیلی مضمون: توزیع احتمال

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

${\displaystyle p_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr({\hbox{all }}s\in S:X(s)=x)}$

یعنی ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0}$

${\displaystyle p_{X}(x)\leq 1}$

${\displaystyle \ \sum _{x}p_{X}(x)=1}$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ یوں تعریف ہو گی

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\sum _{x:X(s)\leq x}p(x)}$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت دالہ" ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اور "تَراكُمی توزیع احتمال دالہ" ${\displaystyle \ F_{X}(x)}$ ، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ ${\displaystyle \ F_{X}(.)}$

تفصیلی مضمون: دو رقمی توزیع احتمال

بعض اوقات ایک ہی تجربہ کو متعدد بار دہرایا جاتا ہے (جیسے سکے کو بار بار فضا میں اچھالا جائے)۔ ایسے بار بار آزمائش میں فرض کرو کہ:

• دو ممکنہ نتائج ہیں، "کامیابی" اور "ناکامی"
• ہر آزمائش پر "کامیابی" کا احتمال p ہے اور "ناکامی" کا احتمال ${\displaystyle \ 1-p}$
• آزمائش کی تعداد n ہے
• ہر آزمائش دوسری آزمائشوں سے آزاد ہے

فرض کرو کہ تصادفی متغیر X ہے، جو ان n آزمائشوں میں "کامیابی" کی تعداد ظاہر کرتا ہے۔ اس متفرد تصادفی متغیر کا حیطہ

${\displaystyle \{0,1,2,\cdots ,n\}}$

ہے اور توزیعِ احتمال

${\displaystyle p_{X}(x)={\frac {n!}{x!(n-x)!}}p^{x}(1-p)^{n-x}}$

اس توزیع احتمال کو "دو رقمی توزیع" کے نام سے پکارا جاتا ہے۔ ( یہاں ! کی علامت عامِلیہ کو ظاہر کرتی ہے۔)

تفصیلی مضمون: متوقع قدر

تصادفی متغیر X کی متوقع قدر اس کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ سے وزن شدہ اوسط کو کہتے ہیں اور اس متوقع قدر ${\displaystyle \ E(X)}$ کو یوں تعریف کیا جاتا ہے

${\displaystyle \ E(X)=\sum _{i}x_{i}p_{X}(x_{i})}$

متوقع قدر کو تصافی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ کا مرکزِ کشش ثقل سمجھا جا سکتا ہے۔

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کی متوقع قدر ${\displaystyle \ E(X)}$

${\displaystyle E(X)=\sum _{x=0}^{n}xp_{X}(x)=np}$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق ${\displaystyle E(X)=np=40\times 0.5=20}$

متوقع قدر کو تصادفی متغیر کا اوسط بھی کہا جاتا ہے۔

تفصیلی مضمون: تفاوت

تصادفی متغیر کا اپنی متوقع قدر سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو جانچنے کے لیے، تصادفی متغیر کا تَفاوُت استعمال ہوتا ہے۔ اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

${\displaystyle \ \mu =E(X)}$

لکھا جائے، تو X کا تَفاوُت (variance) یوں تعریف کیا جاتا ہے

${\displaystyle \ {\hbox{var}}(X)=E\left((X-\mu )^{2}\right)=E(X^{2})-\mu ^{2}}$

جہاں ${\displaystyle \ E(X^{2})=\sum _{i}x_{i}^{2}p_{X}(x_{i})}$ غور کرو کہ ${\displaystyle \ E(X^{2})}$ متغیر ${\displaystyle \ x^{2}}$ کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ سے کیا گیا ہے۔

اس تَفاوُت کے مربع جزر کو تصادفی متغیر کا معیاری انحراف کہا جاتا ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ تصادفی متغیر کی ممکنہ اقدار کا اپنی متوقع قدر کے گرد پھیلاؤ کتنا سمجھا جا سکتا ہے۔ معیاری انحراف (standard deviation)

${\displaystyle \ {\hbox{std. dev.}}(X)={\sqrt {{\hbox{var}}(X)}}}$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا

${\displaystyle \ {\hbox{var}}(X)=np(1-p)}$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت ${\displaystyle {\hbox{var}}(X)=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10}$ اور معیاری انحراف ${\displaystyle \ {\hbox{std. dev. (X)}}=10^{\frac {1}{2}}\approx 3.16}$