تقسیم احتمال

متفرد تصافی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ کسی بھی عدد x کے لیے یوں تعریف ہوتی ہے

${\displaystyle p_{X}(x)=\Pr(X=x)=\Pr({\hbox{all }}s\in S:X(s)=x)}$

یعنی ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اس احتمال کے برابر ہے کہ تصادفی متغیر X کی قدر x بنے۔ یہاں S نمونہ فضا ہے، جو تصادفی متغیر X کا ساحہ ہے۔ غور کرو کہ

${\displaystyle p_{X}(x)\geq 0}$

${\displaystyle p_{X}(x)\leq 1}$

${\displaystyle \ \sum _{x}p_{X}(x)=1}$

اب متفرد تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ یوں تعریف ہو گی

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\sum _{x:X(s)\leq x}p(x)}$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x کے برابر یا اس سے کم ہو۔ غور کرو کہ

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

متفرد تصادفی متغیر X کے لیے اس کے "احتمال کمیت دالہ" ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اور "تَراكُمی توزیع احتمال دالہ" ${\displaystyle \ F_{X}(x)}$، دونوں کو "توزیعِ احتمال" پکارا جاتا ہے۔

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$

تصویر 3: دو رقمی توزیع کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ ${\displaystyle \ F_{X}(.)}$

متواصل تصافی متغیر X کی احتمال کثافت دالہ ${\displaystyle \ f_{X}(.)}$ کی مدد سے تصادفی متغیر X کی قدر وقفہ ${\displaystyle \ (a,b)}$ میں ہونے کا احتمال یوں لکھا جا سکتا ہے:

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx}$

یعنی یہ احتمال دالہ ${\displaystyle \ f_{X}(x)}$ کے نیچے a سے b تک رقبہ کے برابر ہے۔ "احتمال کثافت دالہ" مندرجہ ذیل خصوصیات کی حامل ہوتی ہے:

${\displaystyle f_{X}(x)\geq 0}$

${\displaystyle \ \int _{-\infty }^{\infty }f_{X}(x)dx=1}$

اب متواصل تصادفی متغیر X کی تَراكُمی توزیع احتمال دالہ یوں تعریف ہو گی

${\displaystyle F_{X}(x)=\Pr(X\leq x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(x)dx}$

یعنی یہ احتمال کہ تصادفی متغیر X کی قدر x سے کم ہو۔ غور کرو کہ

${\displaystyle F_{X}(x)\geq 0,\forall x}$

${\displaystyle F_{X}(-\infty )=0}$

${\displaystyle F_{X}(\infty )=1}$

${\displaystyle F_{X}(x_{2})\geq F_{X}(x_{1})\,,\,\,\,\,x_{2}>x_{1}}$

ان تعاریف سے پتہ چلتا ہے کہ

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=\Pr(X\leq b)-\Pr(X\leq a)}$

${\displaystyle \Pr(a<X\leq b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)=\int _{a}^{b}f_{X}(x)dx}$

مثال

گاسین توزیع احتمال کی "احتمال کثافت دالہ"۔ سبز رنگ میں معیاری گاسین توزیع احتمال ہے۔

گاسین توزیع احتمال کی "تراکمی توزیع دالہ"۔ رنگ اوپر والی تصویر کے موافق ہیں۔

سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال، گاسین توزیع احتمال ہے، جس کی "احتمال کثافت دالہ" تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!}$

جبکہ اس کی متوقع قدر

${\displaystyle \ \mu =E(X)}$

اور تفاوت

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=Var(X)}$

ہیں۔ معیاری گاسین "احتمال کثافت دالہ" (سبز) کے لیے ${\displaystyle \mu =0}$ اور ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

ویکی کومنز پر تقسیم احتمال سے متعلق سمعی و بصری مواد ملاحظہ کریں۔