معیاری انحراف

تصادفی متغیر (یا اس کی توزیعِ احتمال) کا اپنی متوقع قدر (اوسط) سے ممکنہ انحراف کی مقدار کو ناپنے کے لیے، تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" استعمال ہوتا ہے۔ اسے عموماً ${\displaystyle \sigma }$ کی علامت سے لکھا جاتا ہے اور یہ تفاوت کا مربع جزر ہوتا ہے۔

تصادفی متغیر کا "معیاری انحراف" ${\displaystyle \sigma }$ ناپ ہے تصادفی متغیر کی اقدار (نیلا رنگ میں) کا اپنے اوسط ${\displaystyle \mu }$ کے گرد پھیلاؤ کا۔

• بچوں کی سائنس میں آسان مقالہ : معیاری انحراف (آسان)

اگر تصادفی متغیر X کی متوقع قدر کو

${\displaystyle \ \mu =E(X)}$

لکھا جائے، تو X کا "معیاری انحراف" ${\displaystyle \sigma }$ یوں تعریف کیا جاتا ہے

${\displaystyle \ \sigma ={\sqrt {E\left((X-\mu )^{2}\right)}}}$

یعنی ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ہے تصادفی متغیر X کی اوسط ${\displaystyle \mu }$ سے دوری ${\displaystyle x-\mu }$ کے مربع ${\displaystyle \ (x-\mu )^{2}}$ کی اوسط۔ واپس X کی اکائی میں آنے کے لیے ہم ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ کا مربع جزر لے کر معیاری انحراف ${\displaystyle \sigma }$ حاصل کرتے ہیں۔

غور کرو کہ تفاوت ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ کو یوں لکھ سکتے ہیں

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=E\left((X-\mu )^{2}\right)=E(X^{2})-\mu ^{2}}$

جہاں متفرد تصادفی متغیر کے لیے ${\displaystyle \ E(X^{2})=\sum _{i}x_{i}^{2}p_{X}(x_{i})}$ غور کرو کہ ${\displaystyle \ E(X^{2})}$ متغیر ${\displaystyle \ x^{2}}$کی وزن شدہ اوسط ہے، جہاں وزن تصادفی متغیر X کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$ سے کیا گیا ہے۔ متفرد تصادفی متغیر X کی "احتمال کمیت دالہ" ${\displaystyle \ p_{X}(x)}$ اس متغیر کی قدر x ہونے کے احتمال کو کہتے ہیں اور یوں تعریف کرتے ہیں:

${\displaystyle \ p_{X}(x_{i})=\Pr(X=x_{i})}$

تصویر 2: دو رقمی توزیع کی احتمال کمیت دالہ ${\displaystyle \ p_{X}(.)}$

مثال: دو رقمی توزیعِ احتمال شدہ تصادفی متغیر X کا تفاوت

${\displaystyle \ \sigma ^{2}=np(1-p)}$

تصویر 2 میں سرخ خطِ منحنی کے مطابق تَفاوُت ${\displaystyle \ \sigma ^{2}=np(1-p)=40\times 0.5\times (1-.5)=10}$ اور معیاری انحراف ${\displaystyle \ \sigma =10^{\frac {1}{2}}\approx 3.16}$