نارمل تقسیم

سب سے مشہور متواصل توزیع احتمال، معمول توزیع احتمال (Normal distribution) ہے۔ یہ دو اعداد، اوسط اور معیاری انحراف بتا دینے سے مقرر ہو جاتی ہے۔ اس توزیع کی اہمیت مرکزی حد مسلئہ اثباتی کی وجہ سے ہے، جو یہ بتاتا ہے کہ بہت سے آزاد تصادفی متغیروں کی جمع کی توزیع احتمال تقریباً "معمول توزیع احتمال" ہو جاتی ہے۔ اس توزیع کو مشہور جرمن ریاضی دان گاس کے نام سے منسوب کر کے گاسین (Gaussain) توزیع بھی کہا جاتا ہے۔ اس کی "احتمال کثافت دالہ" کو مشاہبت کی بنا پر گھنٹی (bell curve) بھی کہتے ہیں۔

معمول توزیع احتمال کی "احتمال کثافت دالہ" ${\displaystyle \ f_{X}(x)}$ ۔ سبز رنگ میں معیاری معمول توزیع احتمال ہے۔

معمول توزیع احتمال کی "تراکمی توزیع دالہ" ${\displaystyle \ F_{X}(x)}$ ۔ رنگ اوپر والی تصویر کے موافق ہیں۔

"معمول توزیع" کی "احتمال کثافت دالہ" تصادفی متغیر X کے لیے یوں لکھی جاتی ہے

${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\!}$

جبکہ اس کی متوقع قدر (اوسط)

${\displaystyle \ E(X)=\mu }$

اور تفاوت

${\displaystyle \ Var(X)=\sigma ^{2}}$

جبکہ معیاری انحراف ${\displaystyle \sigma }$ ہے۔ ہیں۔ معیاری معمول "احتمال کثافت دالہ" (سبز) کے لیے ${\displaystyle \mu =0}$ اور ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$

معمول تَراكُمی توزیع احتمال فنکشن کو تراکمی توزیع کی تعریف استعمال کرتے ہوئے یوں لکھا جاتا ہے

${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\int _{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)dx\!={\frac {1}{2}}\left(1+\mathrm {erf} \,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}$

یہاں دالہ "(.)erf" کی قدر نکالنے کے لیے جدول موجود ہیں یا عددی کمپیوٹر اطلاقیہ (جیسے سائیلیب) میں پہلے سے موجود فنکشن سے معلوم کیا جا سکتا ہے۔

تصویر میں "معمول احتمال کثافت دالہ" ${\displaystyle \phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$ دکھائی گئی ہے۔ اوسط ${\displaystyle \mu }$ سے ایک معیاری انحراف ${\displaystyle 1\sigma }$ کے فاصلہ سے کم والا علاقہ گہرا نیلا دکھایا گیا ہے۔ اس کا رقبہ کُل کا 68% ہے۔ اوسط سے دو معیاری انحراف ${\displaystyle 2\sigma }$ کے فاصلہ سے کم والے علاقہ (گہرا نیلا اور درمیانہ نیلا) کا رقبہ 95%، جبکہ تین معیاری انحراف ${\displaystyle 3\sigma }$ والے علاقے کا رقبہ 99.7% ہے۔

معیاری "معمول توزیع" کی "احتمال کثافت دالہ" لیے عموماً خاص علامت

${\displaystyle \phi (x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\!}$

استعمال ہوتی ہے، جبکہ معیاری معمول تَراكُمی توزیع احتمال فنکشن کے لیے خاص علامت

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;\int _{-\infty }^{x}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}dx\!}$

ہے۔ غور کرو کہ معمول توزیع شدہ تصادفی متغیر X جس کی اوسط ${\displaystyle \mu }$ اور تفاوت ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ ہے، کے لیے

${\displaystyle f_{X}(x)=\phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)\,\,,\,\,\,F_{X}(x)=\Phi \left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)}$

اس تصادفی متغیر کے اپنے اوسط ${\displaystyle \mu }$ سے ایک معیاری انحراف کے اندر (${\displaystyle \ \pm \sigma }$) فاصلے پر ہونے کا احتمال 68% ہے، یعنی

${\displaystyle \Phi \left({\frac {\sigma -\mu }{\sigma }}\right)-\Phi \left({\frac {-\sigma -\mu }{\sigma }}\right)=0.68}$