வகுஎண் சார்பு

ஒரு சிக்கலெண் x இன் நேர் வகுஎண்கள் கூட்டுச் சார்பு (sum of positive divisors function) σ_x(n) என்பது, n இன் நேர் வகுஎண்களின் x ஆவது அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக வரையறுக்கப்படுகிறது.

இச்சார்பினை கீழுள்ளவாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\sum _{d|n}d^{x}\,\!,}$ (${\displaystyle {d|n}}$ என்பது "n இன் வகுஎண் d" என்பதன் சுருக்கக் குறியீடு)

x = 0 எனும்போது கிடைக்கும் சார்பான σ₀(n) என்பது வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு ஆகும். அதாவது σ₀(n), n இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கையைத் தருகிறது. d(n), ν(n), τ(n) (ஜெர்மானிய மொழியில் வகுஎண் என்பதற்கான சொல் Teiler) ஆகிய குறியீடுகளும் σ₀(n) ஐக் குறிக்கப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.[1][2] (A000005).

x = 1 ஆக இருக்கும்போது இச்சார்பானது சிக்மா சார்பு (sigma function) அல்லது வகுஎண்களின் கூட்டுச் சார்பு (sum-of-divisors function) எனப்படுகிறது.[1][3] இக்குறியீட்டில் கீழொட்டு இல்லாமலும் எழுதலாம்:

σ(n) = σ₁(n) (A000203).

n இன் தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பு -s(n):

இது n நீங்கலான அதன் பிற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கும் சார்பு A001065).

s(n) = σ₁(n) − n

தகு வகுஎண் கூட்டுச் சார்பைத் தொடர்ந்து செயற்படுத்துவதன் மூலம் n இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத் தொடர்முறையைப் பெறலாம்.

12 இன் வகுஎண்களின் எண்ணிக்கைச் சார்பு σ₀(12):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}$

12 இன் வகுஎண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுச் சார்பு σ₁(12):

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}$

12 இன் தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகை:

${\displaystyle {\begin{aligned}s(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}\\&=1+2+3+4+6=16.\end{aligned}}}$

n ஒரு வர்க்கமற்ற எண் எனில் அதன் ஒவ்வொரு வகுஎண் d , n இன் மற்றொரு வகுஎண் n/d இன் சோடியாக அமையும், ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ இரட்டை எண்ணாக இருக்கும்.

n ஒரு வர்க்க எண் எனில் அதன் ஒரு வகுஎண் (${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ ) n இன் வேறெந்தவொரு வகுஎண்ணுடனும் சோடியாக அமையாது, ${\displaystyle \sigma _{0}(n)}$ ஒற்றை எண்ணாக இருக்கும்.

n வர்க்க எண்ணாகவோ அல்லது இரட்டை வர்க்க எண்ணாகவோ இருந்தால் மட்டுமே${\displaystyle \sigma _{1}(n)}$ ஒற்றையெண்ணாக இருக்கும்.

p ஒரு பகாஎண் எனில்,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(p)&=2\\\sigma _{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma _{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}$

${\displaystyle \sigma _{0}(p_{n}\#)=2^{n}\,}$

${\displaystyle 1<\sigma _{0}(n)<n}$ ; σ(n) > n ( n > 2)

${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{a_{i}}}$

r = ω(n) என்பது n இன் வெவ்வேறான பகாக் காரணிகளின் எண்ணிக்கை, p_i - i ஆவது பகாகாரணி, n ஐ வகுக்கக்கூடிய வகுஎண் p_i இன் அதிகபட்ச அடுக்கு a_i எனில்:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)x}-1}{p_{i}^{x}-1}}}$

இம்முடிவு கீழ்வரும் வாய்பாடுக்குச் சமானமானது:

${\displaystyle \sigma _{x}(n)=\prod _{i=1}^{r}\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{jx}=\prod _{i=1}^{r}(1+p_{i}^{x}+p_{i}^{2x}+\cdots +p_{i}^{a_{i}x}).}$

x = 0 எனில் d(n) :

${\displaystyle \sigma _{0}(n)=\prod _{i=1}^{r}(a_{i}+1).}$

n = 24 எனில்,

இரு பகாக்காரணிகள் (p₁ = 2; p₂ = 3) உள்ளன. 24 = 2³×3¹. எனவே a₁ = 3; a₂ = 1.

${\displaystyle \sigma _{0}(24)}$ ஐக் கீழுள்ளவாறு கணக்கிடலாம்:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{0}(24)&=\prod _{i=1}^{2}(a_{i}+1)\\&=(3+1)(1+1)=4\times 2=8.\end{aligned}}}$

24 இன் எட்டுக் காரணிகள்:

1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24.

s(n) = σ(n) − n.

s(n), n இன் அனைத்து தகு வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைக் குறிக்கிறது. அதாவது n நீங்கலாக, n இன் மற்ற வகுஎண்களின் கூட்டுத்தொகையைத் தருகிறது. நிறைவெண்களை அடையாளங்காண இச்சார்பு பயன்படுகிறது.

s(n) = n எனில், n ஒரு நிறைவெண்

s(n) > n எனில், n ஒரு மிகையெண்

s(n) < n எனில், n ஒரு குறைவெண்

n இரண்டின் அடுக்காக இருக்குமானால் (${\displaystyle n=2^{k}}$ ):

${\displaystyle \sigma (n)=2\times 2^{k}-1=2n-1,}$

${\displaystyle s(n)=n-1}$ இதனால் n ஒரு கிட்டத்தட்ட நிறைவெண்ணாக இருக்கும்.

வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள இரு டிரிழ்ச்லெட் தொடர்கள்:

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}$

இதிலிருந்து d(n) = σ₀(n):

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma _{a}(n)\sigma _{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}.}$

வகுஎண் சார்பைக் கொண்டுள்ள லாம்பெர்ட் தொடர்:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma _{a}(n)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}$ (குறிப்பிலா சிக்கலெண் |q| ≤ 1 and a)

• Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009), "Superabundant numbers and the Riemann hypothesis", American Mathematical Monthly 116 (3): 273–275, doi:10.4169/193009709X470128, http://webdocs.cs.ualberta.ca/~zacharyf/Papers/superabundant.pdf.
• Eric Bach|Bach, Eric; Jeffrey Shallit|Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
• Caveney, Geoffrey; Jean-Louis Nicolas; Sondow, Jonathan (2011), "Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis", INTEGERS: the Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 11: A33, http://www.integers-ejcnt.org/l33/l33.pdf
• YoungJu Choie; Lichiardopol, Nicolas; Pieter Moree; Solé, Patrick (2007), "On Robin's criterion for the Riemann hypothesis", Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19 (2): 357–372, doi:10.5802/jtnb.591, http://jtnb.cedram.org/item?id=JTNB_2007__19_2_357_0
• Thomas Hakon Grönwall (1913), "Some asymptotic expressions in the theory of numbers", Transactions of the American Mathematical Society 14: 113–122, doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6
• Ivić, Aleksandar (1985), The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications, A Wiley-Interscience Publication, New York etc.: John Wiley & Sons, pp. 385–440, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-471-80634-X
• Jeffrey C. Lagarias (2002), "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis", The American Mathematical Monthly 109 (6): 534–543, doi:10.2307/2695443
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ), Lexington: D. C. Heath and Company
• Srinivasa Ramanujan (1997), "Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin", The Ramanujan Journal 1 (2): 119–153, doi:10.1023/A:1009764017495
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall
• Robin, Guy (1984), "Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, Neuvième Série 63 (2): 187–213
• Williams, Kenneth S. (2011), Number theory in the spirit of Liouville, London Mathematical Society Student Texts, 76, Cambridge: கேம்பிறிட்ஜ் பல்கலைக்கழகப் பதிப்பகம், பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-0-521-17562-3
• Eric W. Weisstein, Divisor Function MathWorld இல்.
• Eric W. Weisstein, Robin's Theorem MathWorld இல்.
• Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary (i.e. not relying on the theory of modular forms) proofs of divisor sum convolutions, formulas for the number of ways of representing a number as a sum of triangular numbers, and related results.