ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்

ரீமன் இசீட்டா-சார்பியம் ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ என்பது ${\displaystyle s=\sigma +it}$ என்னும் சிக்கல் எண் மாறியில் அமைந்த ஒரு சார்பியம். மெய்ப்பகுதி ${\displaystyle \sigma >1}$ என்றவாறு அமையும் அனைத்து சிக்கலெண்களுக்கும் கீழே தரப்பட்டுள்ள முடிவிலித் தொடர் குவிந்து, இச்சார்பியம் ${\displaystyle \zeta (s)\,}$ -ஐத் தருகிறது.

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots .\!}$

${\displaystyle \sigma >1}$ -மதிப்புக்கு வரையறுக்கப்பட்ட இந்த முடிவிலித் தொடரின் பகுப்பாய்வுத் தொடர்ச்சியாக ரீமன் இசீட்டா-சார்பியம் வரையறுக்கப்படுகிறது.

மேலே தரப்பட்டுள்ள முடிவிலித் தொடர், ${\displaystyle \sigma >1}$ எனும்போது பகுப்பாய்வுச் சார்பியமாக முற்றும் குவியும் டிரிச்லெட் தொடராகவும் (Dirichlet series) ஏனைய சிக்கலெண்களுக்கு குவியாது விரிந்து (diverge) செல்லும் சார்பியமாகவும் இருக்கும்.

குவியும் அரை-தளைத்தில் உள்ள முடிவிலித் தொடரால் வரையறை செய்யப்பட்ட இச்சார்பியம், s ≠ 1 என்ற எல்லா சிக்கல் எண்களுக்கும் பகுப்பாய்வுத் தொடர்ச்சி செய்யகூடிய ஒரு சார்பியம் என்றும், s = 1 என்னும் நிலையில், இத்தொடர் இசைத் தொடராக மாறி முடிவிலியாக விரிகின்றது எனவும் ரீமன் நிறுவியுள்ளார். ஆகவே இசீட்டா சார்பியம் என்பது ஒரு சில புள்ளிகளில் மட்டும் முடிவிலியாக மாறவல்ல, ஆனால் மற்ற இடங்களில் பகுப்பாய்வு தொடர்ச்சி செய்யவல்ல, s என்னும் சிக்கலெண் மாறியால் ஆன பொறிவிரிவு சார்பியம் (Meromorphic function) ஆகும். சிக்கலெண் எச்சம் மதிப்பு 1 கொண்ட s = 1 என்னும் இடத்தைத் தவிர மற்ற இடங்களில் சீராக மாறவல்ல சீருருவு சார்பியம் (holomorphic) ஆகும்.

s > 1 -க்கான ரீமன் இசீட்டா சார்பியம்.

2n என்னும் எந்த நேர்ம இரட்டைப்படை எண்ணுக்கும்,

${\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

இதில் B_2n என்பது பெர்னூலி எண்(Bernoulli number),

ஆனால் அதுவே எதிர்ம எண்களாக இருந்தால்,

${\displaystyle n\geq 1}$ என்னும் நிலையில்

${\displaystyle \zeta (-n)=-{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

மாறி இரட்டைபப்டை எதிர்ம எண்களாக இருந்தால், இசீட்டா சார்பியம் ${\displaystyle \zeta }$ , கரைந்து விடுகின்றது. ஆனால் ஒற்றைப் படை நேர்ம எண்களுக்கு இவ்வகையான எளிய தீர்வுகள் இல்லை.

இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்பை தொகுமுறைகளின் படி பெறுவனவற்றை இசீட்டா மாறிலிகள் என்பர். சில குறிப்பிட்ட மாறிகளுக்கான இசீட்டா சார்பியத்தின் மதிப்புகளைக் கீழே காணலாம்:

• ${\displaystyle \zeta (0)=-1/2,\!}$

• ${\displaystyle \zeta (1)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots =\infty ;\!}$

இது இசைத் தொடர்.

• ${\displaystyle \zeta (3/2)\approx 2.612;\!}$

இயற்பியலில் போசு-ஐன்சுட்டைன் உறைநிலை என்னும் நிலையை அடைய தேவைப்படும் மாறுநிலை வெப்பநிலையைக் கணக்கிடுவதில் இது பயன்படுகின்றது. இது காந்தப்பொருள்களில் காந்த ஒழுங்குறும் பொழுது நிகழும் தற்சுழற்சி அலைகளின் இயற்பியலிலும் எழுகின்றது.

• ${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.645;\!}$

இச்சமன்பாட்டை நிறுவிக்காட்டுவது இபேசல் சிக்கல் எனப்படுகின்றது. சீருறா வண்ணம் ஏதோ இரண்டு எண்களைத் தேர்ந்தெடுத்தால், அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவு என்ன என்னும் கேள்விக்கு விடையாக இத்தொடரின் கூட்டுத்தொகையின் தலைகீழ் மதிப்பு அமையும்.[2]

• ${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.202;\!}$

இது அப்பெரியின் மாறிலி (Apéry's constant) என்று அழைக்கப்படுகின்ன்றது.

• ${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.0823;\!}$

இது வெப்பவியலில் புகழ்பெற்ற இசுட்டெவ்வான்-போல்ட்சுமன் விதி (Stefan–Boltzmann law) மற்றும் வீன் விதி அல்லது வீன் அண்ணளவு (Wien approximation) என்று அறியப்படுகின்றது.

இசீட்டா சார்பியத்துக்கும் பகா எண்களுக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பை லியோனார்டு ஆய்லர் கண்டுபிடித்தார். அவர் கீழ்க்காணும் ஈடுகோளை நிறுவினார்:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

மேலுள்ளதில், வரையறையின் படி இடப்புறம் உள்ளது இசீட்டா சார்பியம் ζ(s), வலப்புறம் உள்ளது p என்று குறிக்கப்பெறும் எல்லா பகா எண்களுக்கும் பொருந்துமாறு அமைந்த முடிவிலி தொடர்பெருக்கல்

இத்தொடர் பெருக்கல் ஆய்லர் பெருக்கற்பலன் எனப்படும்:

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots .}$

Re(s) > 1 என்னும் தளத்தில் ஆய்லரின் தொடர்பெருக்கு வாய்பாட்டில் உள்ள இருபக்கத்தில் உள்ளனவும் குவியும். ஆய்லரின் வாய்பாட்டின் நிறுவலில் அடிப்படை எண்கணக்கியல் தேற்றம் எனப்படும் பகா எண் காரணிப்படுத்துதல் முறையும் பெருக்குத் தொடரும் மட்டுமே பயன்படுத்தப்படுகின்றன. s = 1 என்னும் நிலையில் கிடைக்கும் இசைத் தொடர் முடிவிலியாக விரிவதால், பகா எண்களின் எண்ணிக்கை முடிவிலியாக அமையும் என ஆய்லரின் வாய்பாடு சுட்டிக்காட்டுகிறது.

மாறி s என்பது முழு எண், மற்றும் சீருறாமல் தேர்ந்தெடுக்கப்படுமானால் , அவை ஒன்றுக்கு ஒன்று பகா எண்க்களாக இருக்கும் நிகழ்தகவைக் கணக்கிட ஆய்லரின் பெருக்கல் வாய்ப்பாடு உதவும்.

இந்நிகழ்தகவு:

${\displaystyle \prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$ [3]

• Riemann, Bernhard (1859), "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse", Monatsberichte der Berliner Akademie, http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Zeta/. In Gesammelte Werke, Teubner, Leipzig (1892), Reprinted by Dover, New York (1953).
• Jacques Hadamard, Sur la distribution des zéros de la fonction ζ(s) et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Societé Mathématique de France 14 (1896) pp 199–220.
• Helmut Hasse, Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ-Reihe, (1930) Math. Z. 32 pp 458–464. (Globally convergent series expression.)
• E. T. Whittaker and G. N. Watson (1927). A Course in Modern Analysis, fourth edition, Cambridge University Press (Chapter XIII).
• H. M. Edwards (1974). Riemann's Zeta Function. Academic Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-486-41740-9.
• G. H. Hardy (1949). Divergent Series. Clarendon Press, Oxford.
• A. Ivic (1985). The Riemann Zeta Function. John Wiley & Sons. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-471-80634-X.
• A.A. Karatsuba; S.M. Voronin (1992). The Riemann Zeta-Function. W. de Gruyter, Berlin.
• Hugh Montgomery (mathematician); Robert C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory. Cambridge tracts in advanced mathematics. 97. Cambridge University Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-521-84903-9. Chapter 10.
• Donald J. Newman (1998). Analytic number theory. GTM. 177. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-98308-2. Chapter 6.
• E. C. Titchmarsh (1986). The Theory of the Riemann Zeta Function, Second revised (Heath-Brown) edition. Oxford University Press.
• Jonathan Borwein, David M. Bradley, Richard Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). J. Comp. App. Math. 121: p.11. http://www.maths.ex.ac.uk/~mwatkins/zeta/borwein1.pdf. (links to PDF file)
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski (2002). "Integral Representations of the Riemann Zeta Function for Odd-Integer Arguments". J. Comp. App. Math. 142: pp.435–439. doi:10.1016/S0377-0427(02)00358-8. http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL&_udi=B6TYH-451NM96-2&_user=10&_coverDate=05%2F15%2F2002&_alid=509596586&_rdoc=17&_fmt=summary&_orig=search&_cdi=5619&_sort=d&_docanchor=&view=c&_acct=C000050221&_version=1&_urlVersion=0&_userid=10&md5=76a759d8292edc715d10b1cb459992f1.
• Djurdje Cvijović and Jacek Klinowski (1997). "Continued-fraction expansions for the Riemann zeta function and polylogarithms". Proc. Amer. Math. Soc. 125: pp.2543–2550. doi:10.1090/S0002-9939-97-04102-6. http://www.ams.org/proc/1997-125-09/S0002-9939-97-04102-6/home.html.
• Jonathan Sondow, "Analytic continuation of Riemann's zeta function and values at negative integers via Euler's transformation of series", Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994) 421–424.
• Jianqiang Zhao (1999). "Analytic continuation of multiple zeta functions". Proc. Amer. Math. Soc. 128: pp.1275–1283. http://www.ams.org/journal-getitem?pii=S0002-9939-99-05398-8.

• Riemann Zeta Function, in Wolfram Mathworld — an explanation with a more mathematical approach
• Tables of selected zeroes
• File with 1,000,000 zeros and accurate to about 60+ digits (To download compressed archive, click on Download Now... button.)
• Prime Numbers Get Hitched A general, non-technical description of the significance of the zeta function in relation to prime numbers.
• X-Ray of the Zeta Function Visually-oriented investigation of where zeta is real or purely imaginary.
• Formulas and identities for the Riemann Zeta function functions.wolfram.com
• Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers, section 23.2 of Abramowitz and Stegun