கூட்டுகை

சிக்மா குறியீடு

பெரியஎழுத்தில்- சிக்மா

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots +a_{n-1}+a_{n}}$

i - கூட்டுகைக் குறியீட்டெண்

a_i அடுத்தடுத்து வரும் உறுப்புகளைக் குறிக்கும் குறியீடு இடப்பட்ட உறுப்பு

m கூட்டுகையின் கீழ்வரம்பு

n கூட்டுகையின் மேல்வரம்பு.

கூட்டுகைக் குறிக்குக் கீழுள்ள "i = m" என்பதற்கு i இன் மதிப்புகள் m இலிருந்து துவங்குகிறது என்பது பொருளாகும்.

m இலிருந்து துவங்கி i இன் மதிப்புகள் அடுத்தடுத்து எண் ஒன்றைக் கூட்டி, i = n ஆக இருக்கும்வரை பெறப்படுகின்றன.[2]

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle \sum _{i\mathop {=} 3}^{6}i^{2}=3^{2}+4^{2}+5^{2}+6^{2}=86.}$

சிலசமயங்களில், மேல்வரம்பு, கீழ்வரம்பு குறிப்பிடப்படாமலும் எழுதப்படுகிறது:

${\displaystyle \sum a_{i}^{2}=\sum _{i\mathop {=} 1}^{n}a_{i}^{2}.}$

மாற்றுவிதமான குறியீடுகள்:

${\displaystyle \sum _{0\leq k<100}f(k)}$

${\displaystyle \sum _{x\mathop {\in } S}f(x)}$

${\displaystyle \sum _{d|n}\;\mu (d)}$, d|n-${\displaystyle n}$இன் வகுஎண்கள்.

பல கூட்டுகைக்குறிகளின் பயன்பாடு:

${\displaystyle \sum _{\ell ,\ell '}=\sum _{\ell }\sum _{\ell '}}$,

மீள்வரு முறையில் கூட்டுகை கீழுள்ளவாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=0}$ ${\displaystyle \,}$, b < a.

${\displaystyle \sum _{i=a}^{b}g(i)=g(b)+\sum _{i=a}^{b-1}g(i)}$, b ≥ a.

அளவையியலிலும் (measure theory,) தொகையீட்டுக் கோட்பாட்டிலும் ஒரு கூட்டுத்தொகையானது தொகையீடாக எழுதப்படுகிறது:

${\displaystyle \sum _{k\mathop {=} a}^{b}f(k)=\int _{[a,b]}f\,d\mu }$

${\displaystyle [a,b]}$ - ${\displaystyle a}$ முதல் ${\displaystyle b}$ வரையிலான முழு எண்களின் உட்கணம், ${\displaystyle \mu }$ - உட்கணங்களின் அளவீடு (counting measure).

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\Delta ^{-1}f(b+1)-\Delta ^{-1}f(a)}$[3]

கூட்டுத்தொகைகளுக்கும் தொகையீடுகளுக்கும் இடைப்பட்ட கீழுள்ள தொடர்புகள் மூலம் பல தோராயப்படுத்தல்களைச் செய்ய முடியும்:

கூடும் சார்பு f எனில்:

${\displaystyle \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds.}$

குறையும் சார்பு f எனில்:

${\displaystyle \int _{s=a}^{b+1}f(s)\ ds\leq \sum _{i=a}^{b}f(i)\leq \int _{s=a-1}^{b}f(s)\ ds.}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}C\cdot f(n)=C\cdot \sum _{n=s}^{t}f(n)}$, C ஒரு மாறிலி

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)+\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)+g(n)\right]}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)-\sum _{n=s}^{t}g(n)=\sum _{n=s}^{t}\left[f(n)-g(n)\right]}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}f(n)=\sum _{n=s+p}^{t+p}f(n-p)}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n\in B}f(n)=\sum _{m\in A}f(\sigma (m))}$, σ ஒரு இருவழிக்கோப்பு (இது முந்தைய முற்றொருமையின் பொதுமைப்படுத்தலாக அமைகிறது)

${\displaystyle \sum _{n=s}^{j}f(n)+\sum _{n=j+1}^{t}f(n)=\sum _{n=s}^{t}f(n)}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}a_{i,j}=\sum _{j=l_{0}}^{l_{1}}\sum _{i=k_{0}}^{k_{1}}a_{i,j}}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{k\leq j\leq i\leq n}a_{i,j}=\sum _{i=k}^{n}\sum _{j=k}^{i}a_{i,j}=\sum _{j=k}^{n}\sum _{i=j}^{n}a_{i,j}}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}f(2n)+\sum _{n=0}^{t}f(2n+1)=\sum _{n=0}^{2t+1}f(n)}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n=0}^{t}\sum _{i=0}^{z-1}f(z\cdot n+i)=\sum _{n=0}^{z\cdot t+z-1}f(n)}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{i=s}^{m}\sum _{j=t}^{n}{a_{i}}{c_{j}}=\sum _{i=s}^{m}a_{i}\cdot \sum _{j=t}^{n}c_{j}}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \sum _{n=s}^{t}\ln f(n)=\ln \prod _{n=s}^{t}f(n)}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle c^{\left[\sum _{n=s}^{t}f(n)\right]}=\prod _{n=s}^{t}c^{f(n)}}$ ${\displaystyle \;}$

${\displaystyle \left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}\right)\cdot \left(\sum _{k=0}^{n}b_{k}\right)=\sum _{k=0}^{2n}\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}-\sum _{k=0}^{n-1}\left(a_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}b_{i}+b_{k}\sum _{i=n+1}^{2n-k}a_{i}\right)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}i^{c}\in \Theta (n^{c+1})}$, c > −1 மற்றும் மெய்யெண்.

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}\in \Theta (\log n)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c^{i}\in \Theta (c^{n})}$, c > 1 மற்றும் மெய்யெண்

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\in \Theta (n\cdot \log(n)^{c})}$, c எதிரிலா மெய்யெண்

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\in \Theta (n^{d+1}\cdot \log(n)^{c})}$ c, d எதிரிலா மெய்யெண்கள்

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\log(i)^{c}\cdot i^{d}\cdot b^{i}\in \Theta (n^{d}\cdot \log(n)^{c}\cdot b^{n})}$, b > 1, c, d ஆகிய எதிரிலா மெய்யெண்கள்.

• Nicholas J. Higham, "The accuracy of floating point summation", SIAM J. Scientific Computing 14 (4), 783–799 (1993).

• Summation பிளாநெட்மேத்தில்
• Moriarty, Philip (2009). "∑ – Summation (and Fourier Analysis)". Sixty Symbols. Brady Haran for the University of Nottingham.