முக்கோண எண்

முக்கோண எண்கள் மற்ற வடிவ எண்களோடு அதிகத் தொடர்புடையன.

எடுத்துக்காட்டுகள்:

• அடுத்தடுத்த இரு முக்கோண எண்களின் கூடுதல் ஒரு வர்க்க எண் (சதுர எண்). இக்கூடுதலின் மதிப்பு, இந்த இரு முக்கோண எண்களின் வித்தியாசத்தின் வர்க்கமாகும்.

${\displaystyle T_{n}+T_{n-1}=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {\left(n-1\right)^{2}}{2}}+{\frac {n-1}{2}}\right)=\left({\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{2}}\right)+\left({\frac {n^{2}}{2}}-{\frac {n}{2}}\right)=n^{2}=(T_{n}-T_{n-1})^{2}.}$

6 + 10 = 16

10 + 15 = 25

மேலேயுள்ள ஒவ்வொரு எடுத்துக்காட்டிலும், இரண்டு பொருந்துகின்ற முக்கோணங்களிலிருந்து ஒரு சதுரம் அமைவதைக் காணலாம்.

• எண்ணற்ற முக்கோண எண்கள் வர்க்க எண்களாகவும் அமைகின்றன. அவற்றுள் சிலவற்றை பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்:

${\displaystyle S_{n+1}=4S_{n}\left(8S_{n}+1\right).}$ இதில், ${\displaystyle S_{1}=1.}$

அனைத்து வர்க்க முக்கோண எண்களையும் பின்வரும் மீள்வரு வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்திக் காணலாம்.

${\displaystyle S_{n}=34S_{n-1}-S_{n-2}+2.}$

இதில் ${\displaystyle S_{0}=0}$ மற்றும் ${\displaystyle S_{1}=1.}$

• n -ஆம் முக்கோண எண்ணின் வர்க்கம் 1 முதல் n வரையிலான முழு எண்களின் கனங்களின் கூடுதலுக்குச் சமம்.

${\displaystyle T_{n}^{2}=\sum _{k=1}^{n}k^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+\dotsb +n^{3}=({\frac {n(n+1)}{2}})^{2}}$

• 1 முதல் n வரையிலான முக்கோண எண்களின் கூடுதல் n ஆம் நான்முக எண்ணாகும்.

${\displaystyle T_{1}+T_{2}+T_{3}+....+T_{n}={\frac {(n)(n+1)(n+2)}{6}}.}$

• பொதுவாக, n -ஆம் m -பலகோண எண் மற்றும் n -ஆம் (m + 1)-பலகோண எண்ணிற்குமுள்ள வித்தியாசம் (n – 1) -ஆம் முக்கோண எண்ணாக அமையும்.

எடுத்துக்காட்டு:

ஆறாம் எழுகோண எண் = 81. ஆறாம் அறுகோண எண் = 66

இவற்றின் வித்தியாசம் = 81 – 66 = 15. இது ஐந்தாம் முக்கோண எண்ணாகும். முக்கோண எண்களைப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு மையப்படுத்தப்பட்ட பலகோண எண்ணையும் காணமுடியும்.

n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்ணைக் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle Ck_{n}=kT_{n-1}+1.\ }$

இங்கு ${\displaystyle T_{(}n-1)}$ -முக்கோண எண்;

${\displaystyle Ck_{n}}$ -n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட k-கோண எண்.

இரு முக்கோண எண்களின் நேர்ம வித்தியாசம் ஒரு சரிவக எண்.

• Triangular numbers at cut-the-knot
• There exist triangular numbers that are also square at cut-the-knot
• Weisstein, Eric W., "Triangular Number", MathWorld.
• Triangular numbers via 12 days of Christmas by Vi Hart

• சதுர எண்
• பல்கோண எண்
• முக்கோண சதுர எண்