சமவிசைசார் புள்ளி

${\displaystyle ABC}$ முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள் ${\displaystyle S}$ , ${\displaystyle S'}$ எனில், கீழ்க்காணும் சமன்பாடுகள் உண்மையாய் இருக்கும்:

${\displaystyle AS\cdot BC=BS\cdot AC=CS\cdot AB\,}$

${\displaystyle AS'\cdot BC=BS'\cdot AC=CS'\cdot AB\,}$ [2]

அதாவது தொலைவுகள் ${\displaystyle AS}$ , ${\displaystyle BS}$ , ${\displaystyle CS}$ மூன்றும் முக்கோணத்தின் பக்க நீளங்கள் ${\displaystyle BC}$ , ${\displaystyle AC}$ , ${\displaystyle AB}$ மூன்றுக்கும் எதிர்விகிதத்தில் இருக்கும்.

முக்கோணத்தின் அப்பலோனியஸ் வட்டங்கள் மூன்றும் வெட்டிக்கொள்ளும் பொதுப்புள்ளிகளாக ${\displaystyle S}$ , ${\displaystyle S'}$ இரண்டும் உள்ளன. இவ் வட்டங்கள் ஒவ்வொன்றும் முக்கோணத்தின் ஒரு உச்சி வழிச் செல்வதாகவும், மற்ற இரு உச்சிகளிலிருந்து மாறாத் தொலைவு விகிதம் கொண்டதாகவும் இருக்கின்றன.[3] எனவே ஒவ்வொரு சோடி அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் சமதொடுகோட்டு அச்சாக ${\displaystyle SS'}$ அமைகிறது. கோட்டுத்துண்டு ${\displaystyle SS'}$ இன் நடுக்குத்துக்கோடானது அப்பலோனியஸ் வட்டமையங்கள் அமைகின்ற லெமாய்ன் கோடாகும்.[4]

ஒரு புள்ளி நேர்மாற்றம் மற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களைப் பொறுத்து அமையும் பண்புகளைக் கொண்டும் ${\displaystyle ABC}$ முக்கோணத்தின் சமவிசைசார் புள்ளிகள் ${\displaystyle S}$ and ${\displaystyle S'}$ இரண்டையும் வரையறுக்கலாம்.

சமவிசைசார் புள்ளியைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் முக்கோணம் ${\displaystyle ABC}$ ஆனது ஒரு சமபக்க முக்கோணமாக மாறுகிறது.[5] சுற்றுவட்டத்தைப் பொறுத்த நேர்மாற்றத்தால் ${\displaystyle ABC}$ மாற்றமடைவதில்லை; எனினும் இவ்வுருமாற்றத்தில் அதன் ஒரு சமவிசைசார் புள்ளி மற்றொரு விசைசார் புள்ளியாக மாறுகிறது.[3]

முக்கோணம் ${\displaystyle ABC}$ இன் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறத்தை ${\displaystyle ABC}$ இன் உருமாற்ற முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் உட்புறமாகவே உருமாற்றும் மோபியஸ் உருமாற்றங்களினால் சமவிசைசார் புள்ளிகள் நிலைமாறாமல் உள்ளன. ஆனால் சுற்றுவட்டத்தினை உள்ளும் வெளியுமாக மாற்றும் உருமாற்றங்களில் சமவிசைசார் புள்ளிகள் ஒன்று மற்றதாக மாற்றப்படுகின்றது.[6]

முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தை π/3 கோணத்தில் வெட்டும் மூன்று வட்டங்களும் சமவிசைசார் புள்ளியில் சந்திக்கின்றன.

அப்பலோனியஸ் வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைகின்ற சமவிசைசார் புள்ளிகளை வேறு மூன்று வட்டங்களின் வெட்டும் புள்ளிகளாக அமைவதையும் காணலாம்:

முக்கோணத்தின் உச்சிகளாலான ${\displaystyle (A,B)}$ , ${\displaystyle (A,C)}$ , ${\displaystyle (B,C)}$ ஆகிய மூன்று சோடிப் புள்ளிகளின் வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை 2π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லையில் வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் ${\displaystyle ABC}$ இன் முதல் சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.

இதேபோல, ${\displaystyle (A,B)}$ , ${\displaystyle (A,C)}$ , ${\displaystyle (B,C)}$ வழியாகக் செல்வதும், முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தினை π/3 அளவு உச்சிக்கோணம் கொண்ட வில்லையில் வெட்டுவதுமான மூன்று வட்டங்களும் முக்கோணம் ${\displaystyle ABC}$ இன் இரண்டாவது சமவிசைசார் புள்ளியில் வெட்டிக் கொள்கின்றன.[6]

முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகளோடும் சமவிசைசார் புள்ளிகள் உருவாக்கும் கோணங்கள் பின்வரும் சமன்பாடுகளை நிறைவு செய்கின்றன[6]:

${\displaystyle ASB=ACB+\pi /3}$

${\displaystyle ASC=ABC+\pi /3}$

${\displaystyle BSC=BAC+\pi /3}$

${\displaystyle AS'B=ACB-\pi /3}$

${\displaystyle AS'C=ABC-\pi /3}$

${\displaystyle BS'C=BAC-\pi /3}$

${\displaystyle ABC}$ முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களிலும் சமவிசைசார் புள்ளி ${\displaystyle S}$ ஐ எதிரொளிப்பதால் கிடைக்கும் புள்ளிகளாலான முக்கோணம் ஒரு சமபக்க முக்கோணம் ஆகும். அதைப் போலவே, ${\displaystyle S}$ இலிருந்து முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களுக்கும் வரையப்படும் செங்குத்துக்கோடுகளின் அடிப்புள்ளிகளால் உருவாகும் பாத முக்கோணமும் சமபக்க முக்கோணமாக இருக்கும்.[5][7] ${\displaystyle ABC}$ முக்கோணத்தினுள் வரையப்படும் சமபக்க முக்கோணங்களில் மிகக் குறைந்த பரப்பளவு கொண்டது பாத முக்கோணம் ஆகும்.[8]

• Isodynamic points X(15) and X(16) in the Encyclopedia of Triangle Centers, by Clark Kimberling
• Eric W. Weisstein, Isodynamic Points MathWorld இல்.