সাংখ্যিক সমাকলন

ইন্টারপোলেটিং[4] ফাংশন গঠনের মাধ্যমে সহজে-সমাকলনযোগ্য অসংখ্য কোয়ডরেচার সূত্র প্রতিপাদন করা যায়। সাধারণভাবে এই ইন্টারপোলেটিং ফাংশনগুলো বহুপদী। খুব উচ্চ মাত্রার (degree) বহুপদীগুলো বৃহৎ পাল্লায় স্পন্দিত হওয়ার প্রবণতা দেখায়, তাই বাস্তবিক ক্ষেত্রে নিম্ন মাত্রার বহুপদী বিশেষকরে রৈখিক ও দুই মাত্রার (quadratic) বহুপদী ব্যবহৃত হয়।

আয়তক্ষেত্র সূত্রের চিত্রায়ণ।

ইন্টারপোলেটিং ফাংশনটি যদি ${\displaystyle \left({\frac {a+b}{2}},f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\right)}$ বিন্দুগামী ধ্রুব ফাংশন (শুন্য মাত্রার বহুপদী) হয়, তবে কোয়ডরেচার নিয়মসমূহের মধ্যে এটা হবে সবচেয়ে সরলতম পদ্ধতি। একেই মধ্যবিন্দু সূত্র বা আয়তক্ষেত্র সূত্র বলে। গাণিতিকভাবে:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)f\left({\frac {a+b}{2}}\right)}$

ট্রাপিজয়ডাল সূত্রের চিত্রায়ন।

ইন্টারপোলেটিং ফাংশনটি ${\displaystyle \left(a,f(a)\right)}$ ও ${\displaystyle \left(b,f(b)\right)}$ বিন্দুগামী সরল রেখা (অ্যাফাইন ফাংশন, অন্য কথায় এক মাত্রার বহুপদী বা রৈখিক বহুপদী) হলে একে ট্রাপিজয়ডাল সূত্র বলে। গাণিতিকভাবে:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx (b-a)\left({\frac {f(a)+f(b)}{2}}\right)}$

সিম্পসনের সূত্রের চিত্রায়ন।

এই সূত্রগুলোর প্রতিটির ক্ষেত্রে, আমরা ${\displaystyle [a,b]}$ ব্যবধিকে ${\displaystyle n}$ সংখ্যক উপব্যবধিতে ভেঙে, প্রত্যেকটি উপব্যবধির জন্য আসন্ন মান গণনা করে প্রাপ্ত সব মান যোগ করে আরও নিঁখুত আসন্ন মান পেতে পারি। এটাকে যৌগিক সূত্র বা সম্প্রসারিত সূত্র বা আবর্তী সূত্র বলে। উদাহরণ স্বরূপ, যৌগিক ট্রাপিজয়ডাল সূত্রকে নিম্নরূপে লেখা যায়:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{n}}\left({f(a) \over 2}+\sum _{k=1}^{n-1}\left(f\left(a+k{\frac {b-a}{n}}\right)\right)+{f(b) \over 2}\right),}$

যেখানে উপব্যবধির আাকার হল:

${\displaystyle [a+kh,a+(k+1)h]\subset [a,b],}$ যখন, ${\displaystyle h={\frac {b-a}{n}}}$ ও ${\displaystyle k=0,\ldots ,n-1.}$

এখানে আমরা ${\displaystyle h}$ সম-দৈর্ঘ্যের উপব্যবধি ব্যবহার করেছি কিন্তু ${\displaystyle \left(h_{k}\right)_{k}}$ দৈর্ঘ্যের উপব্যবধিও ব্যবহার করা যাবে।

${\displaystyle [a,b]}$ ব্যবধিতে সমদূরত্বের বিন্দুসমূহে মান-নির্ধারিত বহুপদীগুলোর সাথে ইন্টারপোলেশন হতে নিউটন-কোটস সূত্রগুলো পাওয়া যায়, যেমন: আয়তক্ষেত্র সূত্র ও ট্রাপিজয়ডাল সূত্র হল নিউটন-কোটস সূত্র। সিম্পসনের সূত্র আদতে দুই ক্রমের (মাত্রার) বহুপদী ভিত্তিক সমীকরণ এবং এটাও একটা নিউটন-কোটস সূত্র।

সমদূরত্বের বিন্দুযুক্ত কোয়ডরেচার সূত্রগুলোতে nesting'র উপযোগী খুবই সুবিধাজনক বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান। প্রতিটি উপবিভাজিত ব্যবধির সংশ্লিষ্ট সূত্র সকল সাম্প্রতিক বিন্দু ধারণ করে, ফলে ঐ ইন্টিগ্রান্ড মানসমূহকে পুনর্ব্যবহার করা যায়।

যদি ব্যবধিকে ইন্টারপোলেশন বিন্দুসমূহের মধ্যে পরিবর্তন করা হয় তবে অন্য এক ধরনের কোয়ডরেচার সূত্র পাওয়া যাবে, যেমন: গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্রসমূহ। সাধারণত গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্র নিউটন-কোটস সূত্র অপেক্ষা অধিক নিঁখুত। কোন ফাংশনের সকল প্রকার ডেরিভেটিভ (অন্তরজ) তার ডোমেইনের সর্বত্র পাওয়া গেলে একে স্মুথ ফাংশন বলে। যদি ইন্টিগ্রান্ড একটি স্মুথ ফাংশন হয় অর্থাৎ একে পর্যাপ্ত পরিমাণে ব্যবকলন করা যায় তবে গাউসিয়ান কোয়ডরেচারের ক্ষেত্রে নিউটন-কোটস সূত্রের সমসংখ্যক ফাংশন মান-নির্ধারণ করতে হবে। ক্লিন'শ কার্টিস কোয়ডরেচার পদ্ধতিকে (অর্থাৎ ফেজের কোয়ডরেচার), নেস্ট (nest)[5] ক্রিয়া প্রদানকারী পরিবর্তনশীল ব্যবধির কোয়ডরেচার পদ্ধতিগুলোর অন্তর্ভুক্ত করা যায়।

গাউসিয়ান কোয়ডরেচার সূত্রগুলো নেস্ট ক্রিয়া দেয় না তবে এর সাথে সম্পর্কযুক্ত গস-ক্রনরড কোয়ডরেচার সূত্রগুলো নেস্ট ক্রিয়া দেয়।

নিচে মধ্যবিন্দু সূত্রের একটি সাধারণীকৃত ফর্মুলা দেওয়া হল:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {{{\left({-1}\right)}^{n}}+1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{\left(n\right)}}\left(x\right)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}}$

অথবা,

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=\lim _{M\to \infty }\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{N}{{\frac {{{\left({-1}\right)}^{n}}+1}{{{\left({2M}\right)}^{n+1}}\left({n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{\left(n\right)}}\left(x\right)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}},}$

যেখানে ${\displaystyle f^{(n)}(x)}$ হচ্ছে ${\displaystyle n}$তম ডেরিভেটিভ বা অন্তরজ। উদাহরণ স্বরূপ: মধ্যবিন্দু সূত্রের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটিতে ${\displaystyle M=1}$ ও ${\displaystyle f(x)={\frac {\theta }{1+\theta ^{2}x^{2}}}}$ প্রতিস্থাপন করলে আমরা ইনভার্স ট্যানজেন্ট এর নিম্নরূপ একটি সমীকরণ পাব।

${\displaystyle \tan ^{-1}(\theta )=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{\left(1+2i/\theta \right)^{2n-1}}}-{\frac {1}{\left(1-2i/\theta \right)^{2n-1}}}\right)=2\sum _{n=1}^{\infty }{{\frac {1}{2n-1}}{\frac {{{a}_{n}}\left(\theta \right)}{a_{n}^{2}\left(\theta \right)+b_{n}^{2}\left(\theta \right)}}},}$

যেখানে, ${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$ হচ্ছে কাল্পনিক একক এবং ${\displaystyle {\begin{aligned}&a_{1}(\theta )=2/\theta ,\\&b_{1}(\theta )=1,\\&a_{n}(\theta )=a_{n-1}(\theta )\,\left(1-4/\theta ^{2}\right)+4b_{n-1}(\theta )/\theta ,\\&b_{n}(\theta )=b_{n-1}(\theta )\,\left(1-4/\theta ^{2}\right)-4a_{n-1}(\theta )/\theta \end{aligned}}}$

যেহেতু প্রতিটি অযুগ্ম ${\displaystyle n}$ এ ইন্টিগ্রান্ডের লব ${\displaystyle (-1)^{n}+1=0}$ হয়, তাই মধ্যবিন্দু সূত্রের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটিকে নিম্নরূপে পুনর্গঠন করা যায়:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{f(x)dx}=2\sum _{m=1}^{M}{\sum _{n=0}^{\infty }{{\frac {1}{{{\left({2M}\right)}^{2n+1}}\left({2n+1}\right)!}}{{\left.{{f^{(2n)}}(x)}\right|}_{x={\frac {m-1/2}{M}}}}}}\,\,}$

ম্যাথমেটিকা কোডের নিম্নলিখিত নমুনা, ইনভার্স ট্যানজেন্ট এবং ${\displaystyle M=5}$ ও ${\displaystyle N=10}$ বিন্দুতে ইহার সংক্ষেপিত (truncated) আসন্নমানের যে পার্থক্যসূচক প্লট তৈরি করে তা হল:

f[theta_, x_] := theta/(1 + theta^2*x^2);

aTan[theta_, M_, nMax_] := 
    2*Sum[(Function[x, Evaluate[D[f[theta, x], {x, 2*n}]]][(m - 1/2)/
        M])/((2*n + 1)!*(2*M)^(2*n + 1)), {m, 1, M}, {n, 0, nMax}];

Plot[{ArcTan[theta] - aTan[theta, 5, 10]}, {theta, -Pi, Pi}, 
 PlotRange -> All]

${\displaystyle (a,b)}$ ব্যবধির বাইরে সংজ্ঞায়িত ${\displaystyle g(t)}$ ফাংশনটির ইন্টিগ্রাল হবে:

${\displaystyle \int _{a}^{b}{g(t)dt}=\int _{0}^{b-a}{g(\tau +a)d\tau }=(b-a)\int _{0}^{1}{g((b-a)x+a)dx}}$

সুতরাং, ${\displaystyle f(x)=(b-a)\,g((b-a)x+a)}$ ধরে মধ্যবিন্দু সংকলনের সাধারণীকৃত ফর্মুলাটি প্রয়োগ করা সম্ভব।

ডোমেইনের সকল বিন্দুতে f(x) ফাংশনের অনেক ডেরিভেটিভ না থাকলে অথবা ডেরিভেটিভগুলো বৃহৎ হয়ে গেলে গাউসিয়ান কোয়ডরেচার প্রায়ই অপর্যাপ্ত হয়। এই ক্ষেত্রে, নিম্নরূপ একটি অ্যালগরিদম ভাল ফল প্রদান করে:

def calculate_definite_integral_of_f(f, initial_step_size):
    '''
    This algorithm calculates the definite integral of a function
    from 0 to 1, adaptively, by choosing smaller steps near
    problematic points.
    '''
    x = 0.0
    h = initial_step_size
    accumulator = 0.0
    while x < 1.0:
        if x + h > 1.0:
            h = 1.0 - x # At end of unit interval, adjust last step to end at 1.
        if error_too_big_in_quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h]):
            h = make_h_smaller(h)
        else:
            accumulator += quadrature_of_f_over_range(f, [x,x+h])
            x += h
            if error_too_small_in_quadrature_of_over_range(f, [x,x+h]):
                h = make_h_larger(h) # Avoid wasting time on tiny steps.
    return accumulator

কিছু অ্যালগরিদমের বিস্তারিত বিবরণের জন্য সতর্ক চিন্তার দরকার পড়ে। অনেক ক্ষেত্রেই, একটি ব্যবধির বাইরে f(x) ফাংশনের জন্য কোয়ডরেচারের ভুল অনুমান করা কঠিন নয় বরং সুস্পষ্ট। একটি জনপ্রিয় সমাধান হল: কোয়ডরেচারের দুটি পৃথক সূত্র প্রয়োগ করে তাদের পার্থক্যকে কোয়ডরেচারের ভুলের আনুমানিক পরিমাণ হিসেবে ব্যবহার করা। অন্য সমস্যাটি হল কোনটি “অতি বৃহৎ” বা “অতি ক্ষুদ্র” তা নির্ণয় করা। “অতি বৃহৎ” এর জন্য একটি “স্থানীয় নির্ণায়ক” হবে এমন, কোয়ডরেচার ভুলটি t.h অপেক্ষা বৃহৎ হওয়া উচিৎ নয়। এখানে t একটি বাস্তব সংখ্যা এবং একে আমরা সার্বজনীন ভুল হিসেবে ধরতে আগ্রহী। পুনরায়, যদি h ইতিমধ্যেই ক্ষুদ্র হয়ে থাকে ও কোয়ডরেচার ভুলটি স্পষ্টতই বৃহৎ হয়, তবে h কোয়ডরেচার ভুলকে ক্ষুদ্র করতে কার্যকর নাও হতে পারে। একটি “সার্বজনীন নির্ণায়ক” হবে এমন, সকল ব্যবধির ভুলগুলোর যোগফল t অপেক্ষা ক্ষুদ্র হওয়া উচিৎ নয়। যেহেতু আসন্নমান গণনা করার পর ভুলের গণনা করা হয়, তাই এই ধরনের ভুল বিশ্লেষণকে সাধারণত পোস্টেরিওরি বলে।

অ্যালেক্সান্ড্রা ইলমার ফরসিথ এবং অন্যান্য কয়েকজন অভিযোজিত কোয়ডরেচারের জন্য হিউরিস্টিকস নিয়ে আলোচনা করেন।

নিউটন-কোটস জাতীয় কোয়ডরেচার সূত্রের নির্ভুলতা সাধারণত মানবিন্দুসমূহের (evaluation point) একটি ফাংশন। সচরাচর, মানবিন্দুর সংখ্যা বাড়ানো হলে, অথবা সমতুল্যভাবে প্রক্রিয়ার প্রতিটি ধাপের প্রস্থ হ্রাস করা হলে ফলাফল আরও নিঁখুত হবে। এই প্রশ্নের উদয় হওয়া স্বাভাবিক যে, যদি আমরা ধাপমূহের প্রস্থ শুন্যের কাছাকাছি বিবেচনা করি তাহলে কী ফলাফল পাব। ধারাবাহিক ত্বরণ পদ্ধতি (series acceleration method, যেমন: রিচার্ডসন এক্সট্রাপোলেশন) ব্যবহার করে দুই বা ততোধিক অশুন্য ধাপের মাধ্যমে প্রাপ্ত ফলাফলের এক্সট্রাপোলেটিং করে আমরা এই প্রশ্নের উত্তর পেতে পারি। এক্সট্রাপোলেশন ফাংশন বহুপদী অথবা মূলদ ফাংশন হতে পারে। স্টোয়ার ও বুলিরশ্ এক্সট্রাপোলেশন পদ্ধতির আরও বিস্তৃত বর্ণনা দিয়েছেন। QUADPACK লাইব্রেরিতে এ পদ্ধতির বাস্তবায়ন ঘটেছে। QUADPACK হচ্ছে একমাত্রিক ফাংশনসমূহের সংখ্যাভিত্তিক সংকলনের জন্য FORTRAN 77 লাইব্রেরি।

ধরা যাক, ${\displaystyle [a,b]}$ সীমার বাইরে ${\displaystyle f}$ ফাংশনের একটি সীমাবদ্ধ-প্রথম-অন্তরজ বিদ্যমান। অন্য কথায়: ${\displaystyle f\in C^{1}([a,b])}$ ।

এখন, ${\displaystyle f}$ ফাংশনটির গড়মান উপপাদ্য বা মধ্যমান উপপাদ্য বা Mean Value Theorem হবে:

${\displaystyle (x-a)f'(\xi _{x})=f(x)-f(a)}$ ...... ....... ...... ....... (i)

যেখানে, ${\displaystyle x\in [a,b)}$ এবং

${\displaystyle x}$ এর ভিত্তিতে ${\displaystyle \xi _{x}\in (a,x]}$ ।

(i) নং সমীকরণ এর উভয় পক্ষকে ${\displaystyle x}$ এর সাপেক্ষে ${\displaystyle a}$ হতে ${\displaystyle b}$ এ সমাকলন করে ও অ্যাবসলিউট মান বা মডুলাস মান বা পরম মান নিয়ে পাই ———

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|=\left|\int _{a}^{b}(x-a)f'(v_{x})\,dx\right|}$

উপরন্তু ইন্টিগ্রান্ড এ অ্যাবসলিউট মান বসিয়ে এবং একটি ঊর্ধ্বসীমায় পদটিকে ${\displaystyle f'}$ এ প্রতিস্থাপন করে আমরা ডানপক্ষের ইন্টিগ্রালের আসন্নীকরণ করে পাই ———

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx-(b-a)f(a)\right|\leq {(b-a)^{2} \over 2}\sup _{a\leq x\leq b}\left|f'(x)\right|}$

....... ...... ...... ...... (ii)

এখানে আসন্নীকরণের জন্য Supremum ব্যবহার করা হয়েছে। এরপর থেকে যদি কোয়ডরেচার সূত্র ${\displaystyle (b-a)f(a)}$ দ্বারা ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$ ইন্টিগ্রালকে আসন্নীকরণ করা হয় তবে ভুলের পরিমাণ (ii) নং সমীকরণের ডানপক্ষ অপেক্ষা বৃহৎ হবে না। এই নির্দিষ্ট আসন্নমানের ভুল পদটির (error term) জন্য, ${\displaystyle {n^{-1} \over 2}\sup _{0\leq x\leq 1}\left|f'(x)\right|}$ ঊর্ধ্বসীমায় ইন্টিগ্রালটিকে রেইম্যান যোগফলের জন্য একটি ভুল বিশ্লেষণে (error analysis) রূপান্তর করা যায়। (উল্লেখ্য যে, ${\displaystyle f(x)=x}$ উদাহরণের জন্য আমরা যে ভুল নির্ণয় করেছি, এটা তারই অবিকল রূপ)। অধিক পরিমাণে ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে এবং কোয়ডরেচারের সামান্য পরিবর্তনের (tweaking) মাধ্যমে, আমরা f ফাংশনের জন্য টেইলর ধারা (অবশেষসহ অংশক্রমে যোগ) প্রয়োগ করে একই ধরনের ভুল বিশ্লেষণ (error analysis) করতে পারি। যদি f এর ডেরিভেটিভগুলো সহজলভ্য হয়, তবে এই ভুল-বিশ্লেষণ থেকে ভুলের একটি যথাযথ ঊর্ধ্বসীমা পাওয়া যাবে।

কম্পিউটার প্রুফস ও প্রতিপাদিত হিসাব উৎপাদনে ব্যবধি পাটীগণিতের সাথে এই সংকলন পদ্ধতিটির সমন্বয় করা যেতে পারে।

কোন সেটের প্রান্তদ্বয়ের কোনটিই বাস্তব সংখ্যা না হলে একে আনবাউন্ডেড (unbounded) ব্যবধি বলে। আনবাউন্ডেড ব্যবধির বাইরে আসন্নীকরণ সংকলনের জন্য বেশ কয়েকটি পদ্ধতি রয়েছে। এ ধরনের আসন্নীকরণের কৌশলগুলো বিশেষত কোয়ডরেচার সূত্রগুলো থেকে উদ্ভুত। যেমন: সমস্ত বাস্তব সংখ্যার ইন্টিগ্রাল বা যোগজের জন্য গস-হারমাইট কোয়ডরেচার, ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার ইন্টিগ্রালের জন্য গস-লগিয়ার কোয়ডরেচার। মন্টি কার্লো পদ্ধতি পদ্ধতিও ব্যবহার করা যেতে পারে। এছাড়াও সসীম ব্যবধির চলক পরিবর্তনেও আসন্নীকরণ করা যায়। যেমন: সম্ভবপর রূপান্তরের মাধ্যমে হোল লাইনের জন্য:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\int _{-1}^{+1}f\left({\frac {t}{1-t^{2}}}\right){\frac {1+t^{2}}{(1-t^{2})^{2}}}\,dt}$

এবং সম্ভবপর রূপান্তরের মাধ্যমে অর্ধ-অসীম ব্যবধির জন্য:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a+{\frac {t}{1-t}}\right){\frac {dt}{(1-t)^{2}}},\\\int _{-\infty }^{a}f(x)\,dx&=\int _{0}^{1}f\left(a-{\frac {1-t}{t}}\right){\frac {dt}{t^{2}}};\end{aligned}}}$

বহুমাত্রিক ইন্টিগ্রালে সহজে মন্টি কার্লো পদ্ধতি ও কোয়েসি-মন্টি কার্লো পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায়। একমাত্রিক পদ্ধতি ব্যবহার করে, সম সংখ্যক ফাংশন-মানের জন্য পুনরাবৃত্ত-সমাকলনের তুলনায় এ পদ্ধতি দুটো বৃহত্তর নির্ভুলতা দিতে পারে।

মেট্রোপলিস-হ্যাস্টিংস অ্যালগরিদম ও গিবস স্যাম্পলিং তথাকথিত মার্কভ চেইন মন্টি-কার্লো অ্যালগরিদমের অন্তর্ভুক্ত। কার্যকর বহুসংখ্যক মন্টি কার্লো পদ্ধতির এক বৃহৎ সংগ্রহই হল এই মার্কভ চেইন মন্টি-কার্লো অ্যালগরিদম।

মূলত রাশিয়ান গণিতবিদ সার্জি এ. স্মলাইক (Sergey A. Smolyak) উচ্চমাত্রার কোয়ডরেচারের জন্য এই সাংখ্যিক কৌশলগুলোর উন্নয়ন ঘটান। পদ্ধতিটি সর্বদাই একমাত্রিক কোয়ডরেচার সূত্র ভিত্তিক, কিন্তু এটা ইউনিভ্যারিয়েটিভ ফলাফলগুলোর অধিকতর জটিল এক সমন্বয় ঘটায়। গণিতে এক চলকবিশিষ্ট রাশি, সমীকরণ, ফাংশন ও বহুপদীকে ইউনিভ্যারিয়েটিভ (univariate) বলে। যাই হোক, কোয়ডরেচার বিন্দুর ওয়েটস (weights) ধনাত্মক হওয়ার শর্তে টেন্সর-উৎপাদ-সূত্র সকল কিউবেচার বিন্দুর ধনাত্মক হওয়ার নিশ্চয়তা দিলেও স্মলাইকের সূত্র ওয়েটসের ধনাত্মক হওয়ার কোন নিশ্চয়তা দেয় না।

বেইজিয়ান কোয়ডরেচার (Bayesian Quadrature) হল ইন্টিগ্রাল গণনার সাংখ্যিক সমস্যার সমাধানের পরিসংখ্যানিক পদ্ধতি ; এ পদ্ধতিটি সম্ভাব্যতাভিত্তিক নিউমেরিকস এ ব্যর্থ। গাউসিয়ান প্রক্রিয়ার উত্তরকালীন পরিবর্তন হিসেবে প্রাপ্ত ইন্টিগ্রালের অনিশ্চয়তার সমাধানের পূর্ণ কৌশল এ পদ্ধতি থেকে পাওয়া যেতে পারে। এছাড়াও এটা জানা যে, এ পদ্ধতি থেকে খুব দ্রুত মানের অভিসৃতি হার (convergence rate) পাওয়া যায় যা কোয়ডরেচার বিন্দুর সংখ্যা nএর সূচকীয় হার অপেক্ষা বড় হতে পারে।[9]