ক্যালকুলাসের মৌলিক উপপাদ্য

কোন ফাংশন ${\displaystyle f}$ এর ডিফারেন্সিয়েশন যদি আরেকটি ফাংশন ${\displaystyle f'}$ হয়, তবে,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f'(u)\,du=f(a)-f(b)}$

আবার, কোন ফাংশন ${\displaystyle f}$ এর জন্য

${\displaystyle {d \over dx}\int _{a}^{x}f(u)\,du=f(x)}$

ধরা যাক, নিচের রাশিটির গণনা করতে হবে:

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx.}$

এখানে, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ এবং আমরা ${\displaystyle F(x)={\frac {x^{3}}{3}}}$ কে অ্যান্টি-ডেরিভেটিভ বা প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করতে পারি। সুতরাং:

${\displaystyle \int _{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)={\frac {5^{3}}{3}}-{\frac {2^{3}}{3}}={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}={\frac {117}{3}}=39.}$

অথবা, আরও সাধারণভাবে, ধরা যাক,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt}$

কে গণনা করতে হবে। এখানে, ${\displaystyle f(t)=t^{3}}$ and ${\displaystyle F(t)={\frac {t^{4}}{4}}}$ কে প্রতি-অন্তরজ হিসেবে ব্যবহার করা যায়। সুতরাং:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt={\frac {d}{dx}}F(x)-{\frac {d}{dx}}F(0)={\frac {d}{dx}}{\frac {x^{4}}{4}}=x^{3}.}$

অথবা, সমতুল্যভাবে,

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\int _{0}^{x}t^{3}\,dt=f(x){\frac {dx}{dx}}-f(0){\frac {d0}{dx}}=x^{3}.}$

তত্ত্বীয় উদাহরণ হিসেবে, আমরা উপপাদ্যটি প্রয়োগ করে প্রমাণ করতে পারি,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx.}$

যেখানে,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(a),\\\int _{a}^{c}f(x)dx&=F(c)-F(a),{\text{ and }}\\\int _{c}^{b}f(x)dx&=F(b)-F(c),\end{aligned}}}$

ফলাফল নির্ভর করবে

${\displaystyle F(b)-F(a)=F(c)-F(a)+F(b)-F(c).}$ এর উপর।

বহুচলকের জন্যও উপপাদ্যটি প্রযোজ্য, তবে এক্ষেত্রে উপপাদ্যটির অনেকগুলো রূপ রয়েছে।

এক্ষেত্রে ডিফারেন্সিয়েশন অপারেটরটি এক্সটিরিওর ডেরিভেটিভ

${\displaystyle \int _{R}d\omega =\int _{\partial R}\omega }$

গাউসের সূত্রটি আসলে এই সূত্রটিই, দ্বিতীয় মাত্রার ফর্মের ক্ষেত্রে, আর স্টোক্‌সের সূত্রটি প্রথম মাত্রার, তবে ভেক্টর ক্যালকুলাসের ভাষায়।

• Apostol, Tom M. (১৯৬৭), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra (2nd সংস্করণ), New York: John Wiley & Sons, আইএসবিএন 978-0-471-00005-1উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Bartle, Robert (২০০১), A Modern Theory of Integration, AMS, আইএসবিএন 0-8218-0845-1উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Leithold, L. (১৯৯৬), The calculus of a single variable (6th সংস্করণ), New York: HarperCollins College Publishersউদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link) .
• Rudin, Walter (১৯৮৭), Real and Complex Analysis (third সংস্করণ), New York: McGraw-Hill Book Co., আইএসবিএন 0-07-054234-1উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

1. Spivak, Michael (১৯৮০), Calculus (2nd সংস্করণ), Houston, Texas: Publish or Perish Inc.উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)