بےز مسئلہ اثباتی

اگر واقعات $A_{1},A_{2},\cdots ,A_{n}$ کسی نمونہ فضا S کا بٹوارا ہوں، یعنی

A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots \cup A_{n}=S

اصطلاح	term
بیز مسلئہ اثباتی	Bayes' theorem

تصویر 1

اور اس کے علاوہ یہ باہمی ناشمول واقعات بھی ہوں، یعنی

A_{i}\cap A_{j}\cap =\Phi \,,\,i,j\in \{1,2,\cdots ,n\}

اور $\Pr(A_{i})>0$ ، تو کسی واقعہ B کے لیے (اگر $\Pr(B)>0$ )، بٹوارے کے کسی "واقعہ $\ A_{i}$ کا احتمال جبکہ واقعہ B" کو یوں لکھا جا سکتا ہے:

\Pr(A_{i}|B)={\frac {\Pr(A_{i}\cap B)}{\Pr(B)}}={\frac {\Pr(B|A_{i})\Pr(A_{i})}{\sum _{k=1}^{n}\Pr(B|A_{k})\Pr(A_{k})}}

جہاں ہم نے کُل احتمال کے قانون کا استعمال کیا ہے۔

بے ز قاعدہ کی مختلف شکل

اصطلاح	term
مفروضہ ? امکاناتی تناسب بنفسیہ بمثلیہ	Hypothesis odds Likelihood ratio a priori posteriori

اوپر دیے بے ز قاعدہ کو مختلف شکل میں لکھا جا سکتا ہے۔ اگر ایک واقعہ M ہے اور اس کا متمم ${\bar {M}}$ ، تو ان کے احتمال کا تناسب

{\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}

اس مفروضہ (واقعہ) M کے odds کو ظاہر کرتا ہے۔ واضح رہے کہ:

\Pr({\bar {M}})=1-\Pr(M)

اب اگر ایک واقعہ C رونماء ہوتا ہے، جس سے ہمیں مفروضہ M کے بارے میں کچھ نئی معلومات ملتی ہیں، تو اس نئی معلومات کی روشنی میں مفروضہ M کے نئے odds یہ ہوں گے

{\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}{\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}

جہاں ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}$ کو امکاناتی تناسب کہا جاتا ہے۔ نظریہ احتمال و احصاء کی زبان میں مفروضہ کے اصلی odds کو بنفیسہ odds کہا جاتا ہے اور نئے odds کو بمثلیہ odds کہتے ہیں۔ یعنی بے ز قاعدہ کی مختلف شکل یوں ہے:

(بمثلیہ odds ) = (بنفیسہ odds)  $\times$  (امکاناتی تناسب)

اوپر کی بے ز مساوات کے numerator اور denominator میں بے ز قاعدہ کے استعمال سے اس مساوات کی تصدیق ہوتی ہے، مثلاً numerator کے لیے

\Pr(M|C)={\frac {\Pr(M\cap C)}{\Pr(C)}}={\frac {\Pr(C|M)\Pr(M)}{\Pr(C)}}

مثال

فرض کرو کہ ایک شخص پولیس مقابلے میں ہلاک ہو گیا ہے۔ مفروضہ یہ ہے کہ یہ شخص ڈاکو تھا۔

M=مفروضہ (ڈاکو تھا)

{\bar {M}}

= نفی مفروضہ (ڈاکو نہیں تھا)

فرض کرو کہ پولیس مقابلے میں مرنے والوں کے ڈاکو ہونے اور نہ ہونے کا تناسب 5 ہے، یعنی

{\frac {\Pr(M)}{\Pr({\bar {M}})}}=5\,,\,\Pr(M)={\frac {5}{6}}

اب نیا ثبوت سامنے آتا ہے کہ مرنے والا مسلح نہیں تھا۔

C=مسلح نہیں تھا

فرض کرو کہ غیر مسلح شخص کے ڈاکو ہونے اور ڈاکو نہ ہونے کا تناسب 1/8 ہے، یعنی ${\frac {\Pr(C|M)}{\Pr(C|{\bar {M}})}}={\frac {1}{8}}$

اس ثبوت کی روشنی میں مرنے والے کے ڈاکو ہونے کے بمثلیہ odds ہوں گے

{\frac {\Pr(M|C)}{\Pr({\bar {M}}|C)}}={\frac {5}{1}}\times {\frac {1}{8}}={\frac {5}{8}}

جس سے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال بنتا ہے

{\frac {\Pr(M|C)}{1-\Pr(M|C)}}={\frac {5}{8}}\,,\,\Pr(M|C)={\frac {5}{13}}

یاد کرو کہ اس نئے ثبوت کے مہیا ہونے سے پہلے مرنے والے کے ڈاکو ہونے کا احتمال ${\frac {5}{6}}$ تھا (83 فیصد)، جو اب کم ہو کر ${\frac {5}{13}}$ رہ گیا ہے (38 فیصد)۔

== مزید دیکھیے ==* مشروط احتمال* کُل احتمال کا قانون

E=mc² اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے ریاضی علامات

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.