வீச்சளவை சுழிவளவை தேற்றம்

${\displaystyle T:U\rightarrow V}$ ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் U வின் பரிமாணம் p என்றும் கொள்.

${\displaystyle R(T)=T}$ இன் வீச்சு; அ-து ${\displaystyle \{v\in V:U}$ விலுள்ள ஏதோ ஒரு ${\displaystyle u}$ க்கு ${\displaystyle T(u)=v\}}$

${\displaystyle N(T)=T}$ இன் சுழிவு, அ-து ${\displaystyle \{u\in U:T(u)=0\}}$

${\displaystyle r(T)}$ = வீச்சளவை = ${\displaystyle R(T)}$ இன் பரிமாணம்.

${\displaystyle n(T)}$ = சுழிவளவை = ${\displaystyle N(T)}$ இன் பரிமாணம்.

என்றால், ${\displaystyle r(T)+n(T)=p}$

• ${\displaystyle T:U\rightarrow V}$ ஒரு நேரியல் முழுக்கோப்பு என்றும் ${\displaystyle U}$ வின் பரிமாணம் ${\displaystyle p}$ என்றும் கொள்.

இப்பொழுது, ${\displaystyle T}$ ஒரு உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால் தான், ${\displaystyle dimV=p}$

• ${\displaystyle U,V}$ இரண்டும் முடிவுறு பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றால்,

ஒரு நேரியல் கோப்பு ${\displaystyle T:\rightarrow V}$ உள்ளிடுகோப்பாக இருந்தால், இருந்தால்தான், அது முழுக்கோப்பாக இருக்கும்.

• ${\displaystyle U,V}$ இரண்டும் ${\displaystyle p}$ -பரிமாணமுள்ள திசையன் வெளிகள் என்றும், ${\displaystyle T:U\rightarrow V}$ ஒரு நேரியல் கோப்பு என்றும் கொள்.

இப்பொழுது, பின்வரும் வாசகங்களெல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று சமானம்:

(அ) ${\displaystyle T}$ ஒரு வழுவிலா கோப்பு; அ-து, ஒன்றுக்கொன்று இயைபான கோப்பு, மற்றும் முழுக்கோப்பு.

(ஆ) ${\displaystyle T}$ ஒரு உள்ளிடு கோப்பு

(இ) ${\displaystyle T,U}$ விலுள்ள நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களை ${\displaystyle V}$ இன் நேரியல் சார்பற்ற உட்கணங்களாக உருமாற்றுகிறது.

(ஈ) ${\displaystyle T,U}$ வினுடைய ஒவ்வொரு அடுக்களத்தையும் ${\displaystyle V}$ இன் ஒரு அடுக்களமாக மாற்றுகிறது.

(உ) ${\displaystyle T}$ ஒரு முழுக்கோப்பு

(ஊ) ${\displaystyle T}$ இன் வீச்சளவை ${\displaystyle r(T)=p}$

(எ) ${\displaystyle T}$ இன் சுழிவளவை ${\displaystyle n(T)=0}$

(ஏ) ${\displaystyle T^{-1}}$ க்கு இருப்பு உண்டு.

• ${\displaystyle p}$ -பரிமாணமுள்ள மெய்யெண் திசையன் வெளி எதுவும் ${\displaystyle {V_{p}}^{\mathbf {R} }}$ உடன் சம அமைவியமுள்ளது.
• ${\displaystyle p}$ -பரிமாணமுள்ள சிக்கலெண் திசையன் வெளி எதுவும் ${\displaystyle {V_{p}}^{\mathbf {C} }}$ உடன் சம அமைவியமுள்ளது.

• Serge Lang. Introduction to Linear Algebra. 1986. Springer Science, Inc. New York. ISBN 0-387-96205-0.
• V. Krishnamurthy, V.P. Mainra & J.L. Arora.An Introduction to Linear Algebra. 1976. Affiliated East West Press PVT Ltd. New Delhi. ISBN 81-85095-15-9