முற்றொருமைச் சார்பு

முற்றொருமைச் சார்பு முறையாகப் பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:

M ஒரு தரப்பட்ட கணம் எனில், M கணத்தை ஆட்களமாகவும் இணையாட்களமாகவும் கொண்ட ஒரு சார்பு f ,

${\displaystyle f(x)=x,}$ ${\displaystyle \forall x\in M}$ என அமைந்தால், f ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும்..

அதாவது முற்றொருமைச் சார்பானது, M கணத்திலுள்ள ஒவ்வொரு உறுப்பு x -ஐயும் M -லுள்ள அதே x -உடன் இணைக்கிறது.

பெரும்பாலும் M மீதான முற்றொருமைச் சார்பு f , id_M எனக் குறிக்கப்படுகிறது.

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle f(x)=x\times 1}$

மெய்யெண்கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் இச்சார்பு அளிக்கப்பட்ட மாறியை அம்மாறியை எண் 1-ஆல் பெருக்கக் கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகையாகத் திருப்பித் தருகிறது. எண்களில் பெருக்கல் செயலியின் பண்பின்படி, ஒவ்வொரு மெய்யெண்ணும் ஒன்றால் பெருக்கப்படும்போது கிடைக்கும் பெருக்குத்தொகை அதே மெய்யெண்ணாகவே இருக்கும். எனவே இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும்.

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R^{+}} \rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=|x|}$

நேர்ம மெய்யெண்களின் கணத்திலிருந்து மெய்யெண்கணத்திற்கு வரையறுக்கப்படும் இச்சார்பு அளிக்கப்படும் மாறியை அம்மாறியின் தனி மதிப்பாகத் திருப்பித் தருகிறது.

ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பின் வரையறைப்பப்படி:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$

நேர்ம மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பு அதே நேர்ம எண்ணாகவே இருக்கும் என்பதால் இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாகும். ஆனால் சார்பின் ஆட்களத்தை மெய்யெண்கணமாகக் கொண்டால் இச்சார்பு ஒரு முற்றொருமைச் சார்பாக அமையாது என்பதைக் கவனித்தல் அவசியம்.

• முற்றொருமை வரிசை மாற்றம் ஒரு முற்றொருமைச் சார்பு.

முற்றொருமை வரிசை மாற்றமானது, கணம் ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ அல்லது ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}$ உள்ள உறுப்புகள் ஒவ்வொன்றையும் அதே உறுப்பாக இயல்பான வரிசைப்படி மாற்றும்.

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\1&2&3&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &n\\a_{1}&a_{2}&a_{3}&\cdots &n\end{pmatrix}}.}$

${\displaystyle f\colon M\rightarrow M}$ எனில்,

${\displaystyle f\circ id_{M}=id_{M}\circ f}$

இதில் ${\displaystyle \circ }$ என்பது சார்புகளின் சேர்ப்புச் செயலியின் குறியீடு.

M லிருந்து M -க்கு வரையறுக்கப்பட்ட அனைத்து சார்புகளின் அலகுள்ள அரைக்குலத்தின் முற்றொருமை உறுப்பு ${\displaystyle id_{M}}$ ஆகும்.

• Weisstein, Eric W. "Identity Function." From MathWorld—A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/IdentityFunction.html