தனி மதிப்பு

ஏதேனுமொரு மெய்யெண் x இன் தனிமதிப்பு அல்லது மட்டுமதிப்பின் குறியீடு: |x|. அதன் வரையறை [4]:

${\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&{\mbox{if }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{if }}x<0.\end{cases}}}$

இந்த வரையறையிலிருந்து ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு நேர் மதிப்பாகவோ அல்லது பூச்சியமாகவோத்தான் இருக்குமே தவிர ஒருபோதும் எதிர் மதிப்பாக இருக்காது என்பதைக் காணலாம்.

பகுமுறை வடிவவியல்படி, ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு என்பது மெய்யெண்கோட்டில் பூச்சியத்திலிருந்து அந்த எண் அமையும் தொலைவைக் குறிக்கும்; இரு மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு அவ்விரு எண்களுக்கிடையே உள்ள தொலைவைக் குறிக்கும். குறியில்லா வர்க்கமூலக் குறியீடு நேர் வர்க்கமூலத்தைக் குறிப்பதால்,

${\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}}$

(1)

இதுவே சில சமயங்களில் தனிமதிப்பை வரையறுக்கவும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.[5]

தனிமதிப்பிற்குப் பின்வரும் நான்கு அடிப்படைப் பண்புகள் உள்ளன:

${\displaystyle |a|\geq 0}$	(2)
${\displaystyle |a|=0\iff a=0}$	(3)
${\displaystyle |ab|=|a||b|}$	(4)
${\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}$	(5)

பிற பண்புகள்:

${\displaystyle |(|a|)|=|a|}$	(6)
${\displaystyle |-a|=|a|}$	(7)
${\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}$	(8)
${\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}$	(9)
${\displaystyle \left|{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|a|}{|b|}}\ }$ (if ${\displaystyle b\neq 0}$ )	(10)
${\displaystyle |a-b|\geq |(|a|-|b|)|}$	(11)
${\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}$	(12)
${\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ }$ அல்லது${\displaystyle b\leq a}$	(13)

கடைசி இரண்டு அசமன்பாடுகளைக் பயன்படுத்தி கீழ்க்காணும் கணக்கைத் தீர்க்கலாம்:

${\displaystyle |x-3|\leq 9}$

${\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}$

${\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}$

சிக்கலெண் ${\displaystyle z}$ இன் தனிமதிப்பு ஆதிப்புள்ளிக்கும் அச்சிக்கலெண்ணுக்கும் இடைப்பட்ட தூரம் ${\displaystyle r}$ . ${\displaystyle z}$ மற்றும் அதன் இணையியச் சிக்கலெண் ${\displaystyle {\overline {z}}}$ இரண்டின் தனிமதிப்புகளும் சமம்.

சிக்கலெண்களை வரிசைப்படுத்த முடியாதென்பதால், மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பு வரையறையை நேரிடையாகச் சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்க முடியாது. எனினும் ஒரு மெய்யெண்ணின் தனிமதிப்பு என்பது மெய்யெண்கோட்டில் பூச்சியத்திலிருந்து அந்த எண் அமையும் தொலைவைக் குறிக்கும் என்ற கருத்தை சிக்கலெண்களுக்கு நீட்டிக்கலாம். ஒரு சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பானது, சிக்கலெண் தளத்தில் ஆதிப்புள்ளியிலிருந்து அச்சிக்கலெண்ணின் தொலைவைக் குறிக்கும்; இரு சிக்கலெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனிமதிப்பு அவ்விரு சிக்கலெண்களுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவைக் குறிக்கும்.

${\displaystyle z=x+iy,}$ , (x, y மெய்யெண்கள்) என்ற சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பு அல்லது மட்டு மதிப்பின் குறியீடு |z|.

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$ [6]

இச்சிக்கலெண்ணின் கற்பனைப் பகுதி y இன் மதிப்பு பூச்சியமெனில்:

${\displaystyle |z|=|x|}$

சிக்கலெண் போலார் ஆள்கூற்று முறைமையில் தரப்பட்டால்:

${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ (r ≥ 0, θ மெய்)

${\displaystyle |z|=r}$ .

சிக்கலெண்ணின் தனிமதிப்பைக் கீழ்க்காணும் முறையிலும் காணலாம்:

${\displaystyle |z|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$

இங்கு ${\displaystyle z}$ இன் இணையியச் சிக்கலெண் ${\displaystyle {\overline {z}}}$

மேலே தரப்பட்டுள்ள மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பின் பண்புகள் (2)–(11) சிக்கலெண்களின் தனிமதிப்பிற்கும் பொருந்தும்.

தனிமதிப்புச் சார்பு ஒரு மெய்யெண்ணின் மதிப்பை மட்டுமே தருகிறது; குறியினை விட்டுவிடுகிறது. ஆனால் குறிச் சார்பு மதிப்பை விட்டுவிட்டு குறியை மட்டுமே தருகிறது. இவ்விரு சார்புகளுக்கு இடையேயுள்ள தொடர்பு:

${\displaystyle |x|=x\operatorname {sgn} (x),}$

x ≠ 0 எனில்,

${\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\frac {|x|}{x}}.}$

x ≠ 0 ஐத்தவிர மற்ற அனைத்து மெய்யெண்களுக்கும் தனிமதிப்புச் சார்பு வகையிடத்தக்கது. x ≠ 0 இல் இதன் வகைக்கெழு படிநிலைச் சார்பாகக் கிடைக்கும்.[7][8]

${\displaystyle {\frac {d|x|}{dx}}={\frac {x}{|x|}}={\begin{cases}-1&x<0\\1&x>0.\end{cases}}}$

 |x| இன் x ஐப் பொறுத்த இரண்டாம் வகைக்கெழு எங்கும் (பூச்சியத்தைத் தவிர) பூச்சியமாக இருக்கும்.

தனிமதிப்புச் சார்பின் எதிர்வகைக்கெழு:

${\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C,}$

இங்கு C, தொகையீட்டுக் காரணி.

மேலே தரப்பட்ட மெய்யெண்களுக்கான தனிமதிப்பு வரையறையை வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையங்களுக்கும் நீட்டிக்கலாம். வரிசைப்படுத்தப்பட்ட வளையம் R இன் ஓர் உறுப்பு a. அதன் தனிமதிப்பின் குறியீடு |a|. மேலும் அதன் வரையறை:[10]

${\displaystyle |a|={\begin{cases}a,&{\mbox{if }}a\geq 0\\-a,&{\mbox{if }}a\leq 0\end{cases}}\;}$

இங்கு −a என்பது a இன் கூட்டல் நேர்மாறு; 0, கூட்டல் முற்றொருமை.

மெய்யெண்களின் தனிமதிப்பின் அடிப்படைப் பண்புகளான சமன்பாடுகள் (2)–(5) ஐப் பயன்படுத்தி எந்தவொரு களத்திலும் தனிமதிப்பு என்னும் கருத்தை விளக்கலாம்.

களம் F இல் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு மெய்மதிப்புச் சார்பு v கீழுள்ள நான்கு எடுகோள்களை நிறைவு செய்தால் தனிமதிப்புச் சார்பு அல்லது மட்டுமதிப்பு அல்லது எண்ணளவு அல்லது மதிப்பு அல்லது மதிப்பீடு எனப்படும்:

${\displaystyle v(a)\geq 0}$

${\displaystyle v(a)=0\iff a=\mathbf {0} }$

${\displaystyle v(ab)=v(a)v(b)}$

${\displaystyle v(a+b)\leq v(a)+v(b)}$

இங்கு 0 களத்தின் கூட்டல் முற்றொருமை; 1 பெருக்கல் முற்றொருமை.