துண்டுவாரி நேரியல் சார்பு

கணிதத்தில், துண்டுவாரி நேரியல் சார்பு (piecewise linear function) என்பது நேர்கோட்டுப் பகுதிகளைக் கொண்டதொரு சார்பாகும்.[1] இச் சார்பு ஒரு துண்டுவாரிச் சார்பு. இதன் உள் ஆட்களங்களில் (துண்டுகளில்) வரையறுக்கப்பட்ட சார்புகள், கேண்முறைச் சார்புகளாக இருக்கும். இச்சார்பு ஒரு தொடர்ச்சியான சார்பாக இருந்தால் அதன் வரைபடம் ஒரு பல்கோண வளைவரையாகும்.

மேற்புறம் இருபரிமாணத்தில் ஒரு துண்டுவாரி நேரியல் சார்பும் அது நேரியலாக அமையும் குவி பல்பரப்புகளும் (convex polytopes).

துண்டுவாரி நேரியல் சார்புகள் n-பரிமாண யூக்ளியன் வெளிகள், திசையன் வெளிகள், கேண்முறை வெளிகள் மற்றும் துண்டுவாரி பன்மடிகளில் வரையறுக்கப்படலாம். இங்கு நேரியல் என்பது நேரியல் உருமாற்றத்தை மட்டும் குறிக்காமல் பொதுவாக கேண்முறைச் சார்புகளையும் குறிக்கும். ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பரிமாணங்களில் ஒவ்வொரு துண்டின் ஆட்களமும் பல்கோணமாகவோ அல்லது பல்பரப்பாகவோ இருக்க வேண்டும். அப்பொழுதுதான் இச்சார்பின் வரைபடம் பல்கோண அல்லது பல்பரப்புத் துண்டங்களால் ஆனதாக இருக்கும்.

துண்டுவாரிச் சார்புகளின் முக்கியமான உள்வகைக்களுள் தொடர்ச்சியான துண்டுவாரி நேரியல் சார்புகளும், குவிவு துண்டுவாரி நேரியல் சார்புகளும் அடங்கும்.

பொதுவாக, ஒவ்வொரு n -பரிமாணத் தொடர்ச்சியான துண்டுவாரி நேரியல் சார்பு

${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ க்கும்,

${\displaystyle \Pi \in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1}))}$

${\displaystyle f({\vec {x}})=\min _{\Sigma \in \Pi }\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b}$ என்றவாறு உள்ளது.

${\displaystyle f}$ ஒரு குவிவு மற்றும் தொடர்ச்சியான துண்டுவாரி நேரியல் சார்பாக இருந்தால்:

${\displaystyle \Sigma \in {\mathcal {P}}(\mathbb {R} ^{n+1})}$

${\displaystyle f({\vec {x}})=\max _{({\vec {a}},b)\in \Sigma }{\vec {a}}\cdot {\vec {x}}+b}$ என இருக்கும்.