யூக்ளிடிய தொலைவு

ஒரு பரிமாணத்தில் மெய்யெண் கோட்டின் மீதமையும் இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவானது அவ்விரு புள்ளிகள் குறிக்கின்ற இரு மெய்யெண்களின் வித்தியாசத்தின் தனி மதிப்பு ஆகும்.

மெய்யெண் கோட்டின் மீதமைந்த இரு புள்ளிகள் x , y எனில், இவற்றுக்கிடைப்பட்ட தொலைவு:

${\displaystyle {\sqrt {(x-y)^{2}}}=|x-y|.}$

இரு பரிமாண யூக்ளிடிய தளத்தில், p = (p₁, p₂), q = (q₁, q₂) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

${\displaystyle \mathrm {d} (\mathbf {p} ,\mathbf {q} )={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}}}.}$

இது பித்தகோரசு தேற்ற முடிவை ஒத்துள்ளது.

p , q புள்ளிகளின் போலார் ஆயகூறுகள் (r₁, θ₁),(r₂, θ₂) எனில் சமன்பாடு (2) இன்படி, அப்புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

${\displaystyle {\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos(\theta _{1}-\theta _{2})}}.}$

முப்பரிமாண யூக்ளிடிய வெளியில் p = (p₁, p₂, p₃), q = (q₁, q₂, q₂) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடைப்பட்ட தொலைவு:

${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}$

யூக்ளிடிய n-பரிமாண வெளியிலமையும் p = (p₁, p₂,..., p_n,) q = (q₁, q₂,..., q_n) ஆகிய இரு புள்ளிகளுக்கு இடையேயுள்ள தொலைவு:

${\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}$

அதிகளவு தொலைவிலமையும் பொருள்களுக்காக யூக்ளிடிய தொலைவு வர்க்கப்படுத்தப்படுகிறது:

${\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+...+(p_{i}-q_{i})^{2}+...+(p_{n}-q_{n})^{2}.}$

வர்க்கப்படுத்தப்பட்ட யூக்ளிடிய தொலைவு முக்கோணச் சமனிலியை நிறைவு செய்யாமையால், அது ஒரு மெட்ரிக் அல்ல. எனினும் தொலைவுகள் மட்டுமே ஒப்பீடு செய்யப்படுகின்ற உகமம்காணும் கணக்குகளில் (optimization problems) இது பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது.