படிநிலைச் சார்பு

${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ என்ற சார்பு கீழ்க்காணுமாறு எழுதக் கூடியதானால் அது ஒரு படிநிலைச் சார்பாக இருக்கும்.

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x),\forall x\in \mathbb {R} \,}$

${\displaystyle n\geq 0,}$

${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$ ,

${\displaystyle A_{i}}$ -இடைவெளிகள்

${\displaystyle \chi _{A}\,}$ (சிலசமயங்களில் ${\displaystyle 1_{A}}$ ) ${\displaystyle A}$ இன் சுட்டுச் சார்பு:

${\displaystyle \chi _{A}(x)={\begin{cases}1&{\mbox{if }}x\in A,\\0&{\mbox{if }}x\notin A.\\\end{cases}}}$

இந்த வரையறையில் காணும் இடைவெளிகளை ${\displaystyle A_{i},}$ பின்வரும் பண்புகளைக் கொண்டவையாய்க் கொள்ளலாம்:

1. எடுத்துக்கொள்ளப்படும் அனைத்து இடைவெளிகளும் சேர்ப்பில்லாக் கணங்கள். அதாவது, ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }$ for ${\displaystyle i\neq j}$
2. அவை அனைத்தின் கணம் (கணிதம்)#ஒன்றுப்புகள்ஒன்றிப்பு முழுமையான மெய்யெண் கோடாக இருக்கும். ${\displaystyle \cup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R} .}$

இவ்விரு பண்புகளைக் கொண்ட இடைவெளிகளாக இல்லாமல் இருந்தாலும் நாம் வேறுசில இடைவெளிகளை இணைத்துக் கொள்வதன் மூலம் இவை உண்மையாக இருக்குமாறு செய்து கொள்ளலாம்.

எடுத்துக்காட்டு:

${\displaystyle f=4\chi _{[-5,1)}+3\chi _{(0,6)}\,}$ -இப்படிநிலைச் சார்பை பின்வருமாறு மாற்றி எழுத, அதில் வரும் இடைவெளிகள் மேலே குறிப்பிடப்பட்ட இரு பண்புகளையும் கொண்டவையாக அமைவதைக் காணலாம்.

${\displaystyle f=0\chi _{(-\infty ,-5)}+4\chi _{[-5,0]}+7\chi _{(0,1)}+3\chi _{[1,6)}+0\chi _{[6,\infty )}.\,}$

ஹீவிசைட் படிநிலைச் சார்பு, பெரும்பான்மையான பயன்பாடுடைய படிநிலைச் சார்பு.

• மாறிலிச் சார்பு (இதிலுள்ள ஒரே இடைவெளி: ${\displaystyle A_{0}=\mathbb {R} .}$ )
• ஹீவிசைட் படிநிலைச் சார்பு (படிநிலைச் சார்புகளில் முக்கியமானது.)

செவ்வகச் சார்பு, எளியதொரு படிநிலைச் சார்பு.

• செவ்வகச் சார்பு

• இரு படிநிலைச் சார்புகளின் கூடுதல் மற்றும் பெருக்கல் சார்புகள் இரண்டுமே படிநிலைச் சார்புகளாகும்; ஒரு படிநிலைச் சார்பினை ஒரு எண்ணால் பெருக்கக் கிடைக்கும் சார்பும் ஒரு படிநிலைச் சார்பாகவே இருக்கும்.
• ஒரு படிநிலைச் சார்பு முடிவுறு எண்ணிக்கையிலான மதிப்புகளைக் கொண்டிருக்கும்:

மேலே தரப்பட்ட படிநிலைச் சார்பின் வரையறையில், இடைவெளிகள் ${\displaystyle A_{i},}$ ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n,}$ எல்லாம் ஒன்றுக்கொன்று சேர்ப்பில்லாக் கணங்களாகவும் அவற்றின் மொத்த ஒன்றிப்பும் முழு மெய்யெண் கோடாகவும் இருந்தால்,

${\displaystyle f(x)=\alpha _{i}\,}$ , ${\displaystyle \forall x\in A_{i}.}$

• step function