மாய மாறிலி

1 முதல் n² வரையிலான எண்களைக் கொண்ட மாயச் சதுரமானது, n -வரிசை மாயச் சதுரம் எனப்படும். இதுவே இயல்பான மாயச் சதுரம் (normal magic square) எனவும் அழைக்கப்படும். இதன் மாய மாறிலியின் மதிப்பு, n -ஐ மட்டுமே சார்ந்திருக்கும்.

மாய மாறிலியின் மதிப்பு:

${\displaystyle M_{2}(n)={\frac {n(n^{2}+1)}{2}}.}$

இவ்வாய்ப்பாடு முதல் k இயல் எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாட்டிலிருந்து பெறப்படுகிறது.

முதல் k இயல் எண்களின் கூடுதல் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle 1+2+...+k={\frac {k(k+1)}{2}}}$

இவ்வாய்ப்பாட்டில், k = n² எனப் பிரதியிட:

n²(n²+1)/2 கிடைக்கிறது.

இது மாயச் சதுரத்தின் மொத்த n நிரைகளில் (நிரல்கள்) உள்ள எண்களின் கூடுதல்.

இம்மதிப்பை n -ஆல் வகுக்கக் கிடைப்பது:

n(n²+1)/2

இது மாயச் சதுரத்தின் ஒரு நிரையில் (நிரல்) உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை. மாயச் சதுரத்தின் ஒவ்வொரு நிரையில் (நிரல் அல்லது மூலைவிட்டம்) உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகையும் இதே அளவாகவே இருக்கும்.

n = 3, 4, 5, … வரிசை கொண்ட மாயச் சதுரங்களின் மாய மாறிலிகள்: (sequence A006003 in OEIS):

15, 34, 65, 111, 175, 260, 369, 505, 671, 870, ….

ஒரு மாயச் சதுரத்தின் ஏதேனும் ஒரு நிரை அல்லது ஒரு நிரல் அல்லது ஒரு மூலைவிட்டத்தில் அமையும் எண்கள் ஒரு மாயத் தொடராக அமையும்.

இதேபோல 1, 2, ..., n³ எண்கள் கொண்ட ஒரு மாய கனசதுரத்தின் மாய மாறிலி(OEIS-இல் வரிசை A027441) :

${\displaystyle M_{3}(n)={\frac {n(n^{3}+1)}{2}}.}$

நான்கு பரிமாணத்தில் அமையும் ஒரு மாய கனசதுரம் (magic tesseract) 1, 2, ..., n⁴ எண்கள் கொண்டதாய் அமையும்.

இதன் மாய மாறிலி:

${\displaystyle M_{4}(n)={\frac {n(n^{4}+1)}{2}}.}$

பொதுவாக பரிமாணம் d மற்றும் வரிசை n கொண்ட ஒரு மாய மீக்கனசதுரமானது, 1, 2, ..., n^d, எண்கள் கொண்டிருக்கும். மேலும் அதன் மாய மாறிலி:

${\displaystyle M_{d}(n)={\frac {n(n^{d}+1)}{2}}.}$

n-முனை கொண்ட ஒரு வழக்கமான மாய விண்மீனின் மாய மாறிலி:

M = 4n + 2.

• 260 as magic constant for 8-queens problem and 8x8 magic square
• Hypercube Math formulae