காப்பமைவியம் (கணிதம்)

• ${\displaystyle G,H}$ இவைகளுடைய முற்றொருமை உறுப்புக்களை முறையே ${\displaystyle e_{G},e_{H}}$ என்று கொண்டால், ${\displaystyle f(e_{G})=e_{H}}$ . ஏனென்றால்,

${\displaystyle e_{H}=f(e_{G})*_{2}(f(e_{G}))^{-1}}$

${\displaystyle =f(e_{G}*_{1}e_{G})*_{2}((f(e_{G}))^{-1}}$

${\displaystyle =f(e_{G})*_{2}f(e_{G})*_{2}((f(e_{G}))^{-1}}$

${\displaystyle =f(e_{G})}$

இதன் பொருள்: காப்பமைவியம் முற்றொருமையை முற்றொருமைக்கே எடுத்துச்செல்கிறது.

• ${\displaystyle a\in G}$ என்று கொள். இப்பொழுது, ${\displaystyle f(a^{-1})=((f(a))^{-1}}$ , ஏனென்றால்,

${\displaystyle f(a^{-1})=f(a^{-1})*_{2}e_{H}}$

${\displaystyle =f(a^{-1})*_{2}f(a)*_{2}(f(a))^{-1}}$

${\displaystyle =f(a^{-1}*_{1}a)*_{2}((f(a))^{-1}}$

${\displaystyle =f(e_{G})*_{2}((f(a))^{-1}}$

${\displaystyle =e_{H}*_{2}((f(a))^{-1}}$

= ${\displaystyle ((f(a))^{-1}.}$

இதன் பொருள்: காப்பமைவியமும் நேர்மாறும் ஒன்றுக்கொன்று ஒத்துப்போகின்றன, அதாவது பரிமாறிக்கொள்கின்றன. அதாவது,

நேர்மாறின் காப்பமைவிய பிம்பம் = காப்பமைவிய பிம்பத்தின் நேர்மாறு.

• ${\displaystyle \mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle x\mapsto 2x}$

இது கூட்டல் குலம் ${\displaystyle \mathbf {R} }$ இலிருந்து அதற்கே செல்லும் ஒரு குலம் காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்

${\displaystyle f(a+b)=2(a+b)=f(a)+f(b).}$

• ${\displaystyle ln:\mathbf {R} ^{+}\rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle x\mapsto lnx}$

இது பெருக்கல் குலம் ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$ இலிருந்து கூட்டல் குலம் ${\displaystyle \mathbf {R} }$ க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,

${\displaystyle ln(a\times b)=lna+lnb}$

• ${\displaystyle exp:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}}$

${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$

இது கூட்டல் குலம் ${\displaystyle \mathbf {R} }$ இலிருந்து பெருக்கல் குலம் ${\displaystyle \mathbf {R} ^{+}}$ க்கு ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்

${\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\times e^{b}}$

• ${\displaystyle \mathbf {R} \rightarrow }$ அலகுவட்டம் ${\displaystyle \{z\in \mathbf {C} :|z|=1\}}$

${\displaystyle \theta \mapsto e^{i\theta }}$

இது இடது பக்கத்து கூட்டல் குலத்திலிருந்து வலது பக்கத்து பெருக்கல் குலத்திற்குச் செல்லும் ஒரு காப்பமைவியம்; ஏனென்றால்,

${\displaystyle e^{i(\theta +\phi )}=e^{i\theta }\times e^{i\phi }}$

• ஒரு சமபக்க நான்முகியில், ஒரு உச்சியிலிருந்து எதிர்முகத்திற்குப்போகும் அச்சைச்சுற்றிப்போகும் சுழற்சிகளில் மூன்று சுழற்சிகள் ${\displaystyle (0^{\circ },120^{\circ },240^{\circ })}$ நான்முகிவடிவத்தை இடமாற்றாது. இம்மூன்று சுழற்சிகளும் சுழற்சிச்சேர்வைக்கு ஒரு குலமாகிறது. இது {0, 1, 2} என்ற modulo 3 கூட்டல் குலத்திற்கு காப்பமைவியம் உள்ளதாக இருக்கும்.
• சமச்சீர் குலம் ${\displaystyle S_{n}}$ க்கும் 2-ஆவது கிரம சுழற்குலம் ${\displaystyle C_{2}=\{+1,-1\}}$ க்கும் இடையில் ${\displaystyle \chi }$ என்ற ஒரு சீலக்கோப்பு (Character map) உண்டாக்கலாம். அதாவது,

${\displaystyle \chi :S_{n}\rightarrow \{+1,-1\}}$

${\displaystyle A\mapsto sgn(A)}$

இது ஒரு காப்பமைவியம்.

• ஒவ்வொரு வளையம் காப்பமைவியமும், ${\displaystyle (X,+_{1}),(Y,+_{2})}$ ஆகிய குலங்களுக்கிடையே ஒரு குலம் காப்பமைவியமாகவும் ஆகிறது. இதனால்

${\displaystyle f(0_{X})=(0_{Y});}$ மற்றும்

ஒவ்வொரு ${\displaystyle a\in X}$ க்கும் ${\displaystyle f(-a)=-f(a).}$

• ${\displaystyle kerf=\{x\in X:f(x)=0_{Y}\}}$ என்ற ${\displaystyle f}$ இன் உட்கரு ${\displaystyle X}$ இல் ஒரு சீர்மமாகும்.

• ${\displaystyle \mathbf {Z} \rightarrow \mathbf {Z} _{n}}$

${\displaystyle a\mapsto a}$ (mod ${\displaystyle n}$ )

• ${\displaystyle {\mathcal {C}}[a,b]\rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}$ , இங்கு ${\displaystyle x_{0}}$ என்பது ${\displaystyle [a,b]}$ யில் ஒரு நிலையான புள்ளி.

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}\rightarrow \mathbf {R} }$

${\displaystyle f\mapsto f(1)}$

அ-து: ${\displaystyle a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+...+a_{n}x^{n}\mapsto a_{0}+a_{1}+a_{2}+...+a_{n}}$