دالہ (ریاضیات)

a=f(1) b=f(2) b=f(3)

رسمی تعریف: ریاضیات میں فنکشن f ایک قاعدہ ہے جو مجموعہ X کے ہر رکن x کو مجموعہ Y کا صرف ایک رکن f(x) تفویض کرتا ہے۔

تصویر سے ظاہر ہے کہ X کے ایک سے زیادہ ارکان کو Y کا ایک ہی رکن تفویض کیا جا سکتا ہے (مگر X کے ایک رکن کو Y کے دو ارکان تفویض کرنے کی اجازت نہیں)۔ مجموعہ X کو فنکشن کا ساحہ کہا جاتا ہے۔ مجموعہ Y کے رکن f(x) کو فنکشن f کی x پر قدر بولتے ہیں۔ رکن x کو فنکشن f کا استدلال کہا جاتا ہے۔ ساحہ پر x کی تمام اقدار پر فنکشن f سے ملنے والی مجموعہ Y پر تمام اقدار f(x) کو فنکشن کا حیطہ کہتے ہیں۔ واضح رہے کہ عام طور پر فنکشن کا حیطہ، مجموعہ Y کا ذیلی مجموعہ ہو گا۔ علامتی طور پر لکھتے ہیں

یعنی f فنکشن X کو Y میں لے جاتا ہے اور

x کو f(x) نقش کرتا ہے۔

فنکشن کا علم میں کثرت استعمال کی وجہ سے کچھ رواج راہ پا گئے ہیں۔ فنکشن کے ادخال کی علامت کو اکثر"ناتابع متغیر" یا استدلال کہتے ہیں اور حرف x کی علامت سے لکھتے ہیں یا اگر وقت کا فنکشن ہو، تو حرف t کی علامت۔ اخراج کی علامت کو "تابع متغیر" یا "دالہ کی قدر" کہتے ہیں اور اکثر حرف y کی علامت سے لکھتے ہیں۔ فنکشن خود کو عموماً f کہتے ہیں اور اس طرح علامت y=f(x) سے مراد ہے کہ فنکشن f کی ادخال کا نام x ہے اور اخراج y نامی ہے۔

فنکشن کو آلہ کے طور پر دیکھنا مفید رہتا ہے۔ آلہ میں x داخل ہو، تو آلہ اسے بطور ادخال منظور کرے گا اور فنکشن f کے قاعدہ کے مطابق f(x) پیدا کرے گا، جو آلہ میں سے اخراج ہو گا۔ اس لیے ہم تخیل کر سکتے ہیں کہ ساحہ تمام ممکنہ ادخال ہیں اور حیطہ تمام ممکنہ اخراج۔

عام زندگی میں بیشتر اوقات فنکشن کا ساحہ اور حیطہ اعداد کا ذیلی مجموعہ ہوتے ہیں اور اکثر حقیقی اعداد۔ اس صورت میں فنکشن کا گراف بنا کر تصور کرنا آسان رہتا ہے۔

دو فنکشنات کی ترکیب سے نئی فنکشن وجود میں آ سکتی ہے جسے ترکیب فنکشن کہیں گے۔ دو فنکشن f اور g ہوں، ہم f کے ساحہ میں جُز x سے f کے حیطہ میں جُز y=f(x) تک پہنچتے ہیں۔ اب اگر جُز y فنکشن g کے ساحہ میں ہو تو ہم اس پر فنکشن g کے استعمال سے فنکشن g کے حیطہ میں جُز z=g(y) تک پہنچتے ہیں۔ نتیجہ نئی فنکشن h(x)=g(f(x)) ہے، جو فنکشن f کو فنکشن g میں ڈالنے سے بنی ہے۔ اسے f اور g کی ترکیب کہتے ہیں اور ${\displaystyle g\circ f}$ لکھتے ہیں۔ فنکشن f کے ساحہ کو X، فنکشن f کے حیط اور فنکشن g کے ساحہ کو Y اور فنکشن g کے حیطہ کو Z، کہتے ہوئے ہم علامتی طور پر یوں لکھ سکتے ہیں:

${\displaystyle {\begin{aligned}f\colon X&\to Y\\g\colon Y&\to Z\\g\circ f\colon X&\to Z\\x&\mapsto g(f(x)).\end{aligned}}}$

خیال رہے کہ ترکیبِ فنکشن ${\displaystyle g\circ f}$ میں ترتیب اہم ہے، پہلے فنکشن f استعمال ہوئی اور اس کے اخراج پر فنکشن g استعمال کی گئی۔ میکانیکی طور پر ترکیب کو تصویر میں دکھایا گیا ہے۔ فنکشن ${\displaystyle g\circ f}$ کا ساحہ وہ تمام ${\displaystyle x\in X}$ ہیں جن کے لیے y=f(x) فنکشن g کے ساحہ میں ہیں۔ خیال رہے کہ عام طور پر ${\displaystyle g\circ f\neq f\circ g}$

تعریف: کسی فنکشن کو واحد الواحد دالہ کہا جائے گا اگر یہ کوئی قدر دو بار اختیار نہ کرے، یعنی

${\displaystyle \ f(x_{1})\neq f(x_{2})}$ جب بھی${\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}$

اگر فنکشن کا ساحہ اور حیطہ حقیقی عدد ہوں، تو واحد الواحد فنکشن افقی لکیر اختبار پر پورا اترے گی۔

اگر f واحد الواحد فنکشن ہے جس کا ساحہ X اور حیطہ Y ہے، تو اس کی مقلوب فنکشن ${\displaystyle f^{-1}}$ کا ساحہ Y اور حیطہ X ہو گا اور درج ذیل خاصے سے تعریف ہو گی

${\displaystyle f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y}$

کسی بھی ${\displaystyle y\in Y}$ کے لیے۔ (یاد رہے کہ ${\displaystyle f^{-1}}$ سے مراد ${\displaystyle {\frac {1}{f}}}$ ہرگز نہیں۔ ${\displaystyle {\frac {1}{f(x)}}}$ کے لیے ${\displaystyle \ [f(x)]^{-1}}$ کی علامت استعمال ہوتی ہے۔)

ایسی فنکشن جو مجموعہ X کے رکن x کو x ہی تفویض کرے کو شناخت فنکشن کہتے ہیں اور عموماً ${\displaystyle I_{X}}$ لکھتے ہیں:

${\displaystyle I_{X}(x)=x}$

واحد الواحد فنکشن f جس کا ساحہ X ہو، کے لیے

${\displaystyle (f\circ f^{-1})(x)=f(f^{-1}(x))=(f^{-1}\circ f)(x)=f^{-1}(f(x))=I_{X}(x)=x}$

اگر فنکشن کا ساحہ اور حیطہ دونوں حقیقی اعداد ہوں، یعنی ${\displaystyle y=f(x),\,x\in \mathbb {R} ,\,y\in \mathbb {R} }$، تو پھر فنکشن کا گراف بنایا جا سکتا ہے اور اس کی استحالہ خصوصیت پڑھی جا سکتی ہیں۔ ذیل میں c حقیقی عدد ہے:

کھینچنا اور دابنا

• اگر c>1 ہو، تو فنکشن f(cx)، فنکشن f(x) کی اُفقی دابی صورت ہے۔
• اگر c>1 ہو، تو فنکشن ${\displaystyle f\left({\frac {x}{c}}\right)}$، فنکشن f(x) کی اُفقی کھینچی صورت ہے۔

E=mc2     اردو ویکیپیڈیا پر ریاضی مساوات کو بائیں سے دائیں LTR پڑھیٔے     ریاضی علامات

ویکی کومنز پر دالہ (ریاضیات) سے متعلق سمعی و بصری مواد ملاحظہ کریں۔