வகை நுண்கணிதம்

Topics in Calculus
Differential calculus
	Derivative; Change of variables; Implicit differentiation ; Taylor's theorem ; Related rates ; Identities; Rules: ; Power rule, Product rule, Quotient rule, Chain rule
Integral calculus
	Integral; Lists of integrals ; Improper integrals ; Integration by: ; parts, disks, cylindrical; shells, substitution,; trigonometric substitution,; partial fractions, changing order
Vector calculus
	Gradient ; Divergence ; Curl ; Laplacian ; Gradient theorem ; Green's theorem ; Stokes' theorem ; Divergence theorem
Multivariable calculus
	Matrix calculus ; Partial derivative ; Multiple integral ; Line integral ; Surface integral ; Volume integral ; Jacobian

கணிதத்தில் வகை நுண்கணிதம் என்பது உள்ளீடுகள் மாற்றமடையும் போது சார்புகள் எப்படி மாற்றமடைகினறன என்பதுடன் தொடர்புடைய நுண்கணித உப பிரிவு ஆகும். வகையீட்டு நுண்கணிதத்தில் முதன்மையான ஆய்வுப் பொருள் வகைக்கெழு ஆகும். மிகவும் நெருங்கிய தொடர்புடைய கருத்தமைவு வகையீடு ஆகும். தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட உள்ளீட்டு மதிப்பில் சார்பின் வகைக்கெழு என்பது அந்த உள்ளீட்டு மதிப்பிற்கு அருகில் உள்ள சார்பின் செயல்பாட்டை விவரிக்கிறது. ஒரு தனித்த உண்மையான மாறியின் அசல் மதிப்பிடப்பட்ட சார்பை எடுத்துக் கொண்டால், ஒரு புள்ளியிலுள்ள வகைக்கெழு என்பது தொடு கோட்டின் சாய்வை அந்தப் புள்ளியிலுள்ள சார்பின் வரைபடத்துக்குச் சமப்படுத்துகிறது. பொதுவாக, ஒரு புள்ளியில் ஒரு சார்பின் வகைக்கெழுவானது அந்தப் புள்ளியில் அந்தச் சார்புக்கான சிறந்த நேர்கோட்டு தோராயமதிப்பைத் தீர்மானிக்கும்.

சார்பின் வரைபடம் கருப்பு நிறத்தில் வரையப்பட்டிருக்கிறது. அந்த சார்புக்கான தொடு கோடு சிகப்பு நிறத்தில் வரையப்பட்டிருக்கிறது. இதில் தொடு கோட்டின் சாய்வானது குறிக்கப்பட்டிருக்கும் புள்ளியில் சார்பின் வகைக்கெழுவுக்குச் சமமாக இருக்கிறது

.

வகைக்கெழுவைக் கண்டறிவதற்கான செயல்பாடு வகையீடு என்று அழைக்கப்படுகிறது. வகையீடு என்பது தொகையீட்டுக்கு நேர்மாறான செயல்பாடு என நுண்கணிதத்தின் அடிப்படைத் தேற்றம் குறிப்பிடுகிறது.

வகையீடானது அனைத்து அளவு சார்ந்த துறைகளுக்காகவும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கிறது. இயற்பியலில் நேரத்தின் அடிப்படையிலான நகரும் பொருளை இடப்பெயர்ச்சி செய்வதன் வகைக்கெழு அப்பொருளின் திசைவேகம் ஆகும். மேலும் நேரத்தின் அடிப்படையிலான திசைவேகத்தின் வகைக்கெழு முடுக்கம் ஆகும். ஒரு பொருளின் இயங்குவிசையின் வகைக்கெழு அந்தப் பொருளுக்கு அளிக்கப்படும் விசைக்குச் சமமானதாக இருக்கும் என இயக்கத்துக்கான நியூட்டனின் இரண்டாவது விதி குறிப்பிடுகிறது. வேதி வினையின் எதிர்வினை வீதம் ஒரு வகைக்கெழு ஆகும். இயக்கப் பகுப்பாய்வில், வகைக்கெழுக்கள் பொருட்களைக் கொண்டு செல்லல் மற்றும் தொழிற்சாலைகளை வடிவமைத்தல் ஆகியவற்றுக்கான வினைத்திறனான வழிகளைத் தீர்மானிக்கின்றன. ஆட்டக் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம், வகையீடானது போட்டியிடும் கூட்டு நிறுவனங்களுக்கான மிகச்சிறந்த உத்திகளை வழங்கலாம்.

சார்பின் மீப்பெருமதிப்புகளையும், மீச்சிறுமதிப்புகளையும் கண்டறிவதற்கு வகைக்கெழுக்கள் பெருமளவில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வகைக்கெழுக்கள் தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் அவை இயல்பான செயலை விவரிப்பதில் அடிப்படையாக இருக்கின்றன. வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் அதன் பொதுக்காரணியாக்கல்கள் சிக்கலான பகுப்பாய்வு, சார்பலன் பகுப்பாய்வு, வகையீட்டு வடிவியல், அளவையியல் மற்றும் நுண் இயற்கணிதம் போன்ற கணிதத்தின் பல துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வகைக்கெழு

x மற்றும் y என்பவை மெய் எண்கள் எனவும், y ஆனது x இன் சார்பு எனவும் கொண்டால், x இன் ஒவ்வொரு மதிப்புக்குமுரிய y இன் மதிப்பை நம்மால் தீர்மானிக்க இயலும். இந்தத் தொடர்பைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்: y = f (x ), இதில் f (x ) ஆனது நேர்க்கோட்டுக்கான சமன்பாடு y = m x + c என்பதாகும். இதில் m மற்றும் c என்பவை ஆயக் கோடுகளில் கோட்டின் நியமப்பாதையை வரையறுக்கும் மெய் எண்கள் ஆகும். m என்பது சாய்வு என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் அதனைப் பின்வருமாறு குறிப்பிடலாம்:

m={{\mbox{change in }}y \over {\mbox{change in }}x}={\Delta y \over {\Delta x}},

இதில் Δ (கிரேக்க எழுத்தான டெல்டா என்பதன் பெரிய எழுத்து வடிவம்) என்ற குறியீடு "இதில் ஏற்படும் மாற்றத்தை" குறிப்பிடுவதற்கான சுருக்கக் குறியீடாக இருக்கிறது. இதனைத் தொடர்ந்து Δy = m Δx இருக்கிறது.

ஒருபடிச்சார்புகளில் x என்ற புள்ளியில் f இன் வகைக்கெழு ஆனது x என்ற புள்ளியில் f இன் சாய்வின் வடிப்புக்கு சிறந்த சாத்தியமுள்ள தோராய மதிப்பாக இருக்கிறது. இது பொதுவாக f' (x ) அல்லது dy /dx எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. x இல் f இன் மதிப்புடன் இணைந்து f இன் வகைக்கெழுவானது x புள்ளிக்கு அருகில் f இன் சிறந்த தொகை தோராயமதிப்பு அல்லது தொகையாக்கத்தை வரையறுக்கிறது. இந்தப் பண்பானது பொதுவாக வகைக்கெழுவின் வரையறையாக எடுத்துக் கொள்ளப்படுகிறது. வகைக்கெழுக்களை தொகையற்ற சார்புகளில் கணக்கிட இயலாது. ஏனெனில் அவற்றிற்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட சாய்வு கிடையாது.

இதில் சார்பின் வகை என்பது மிகவும் நெருங்கிய தொடர்புடைய கருத்தமைவாக இருக்கிறது.

(x, f(x)) இல் தொடு கோடு

x மற்றும் y என்பவை உண்மையான மாறிகளாக இருக்கும்போது, x இல் f இன் வகைக்கெழுவானது x இல் f இன் வரைபடத்துக்கு தொடு கோட்டின் சாய்வாக இருக்கிறது.ஏனெனில் f இன் மூலம் மற்றும் இலக்கு ஒரு பரிமாணம் கொண்டிருப்பதோடு f இன் வகைக்கெழு மெய் எண்ணாக இருக்கிறது. '' x மற்றும் y என்பவை வெக்டார்களாக இருந்தால், f இன் வரைபடத்துக்கான சிறந்த தொகை தோராய மதிப்பானது f ஆனது எப்படி ஒவ்வொரு முறையும் பல்வேறு திசைகளுக்கு மாற்றப்படுகிறது என்பதைச் சார்ந்தது. ஒற்றைத் திசையில் சிறந்த தொகை தோராய மதிப்பை எடுப்பது பகுதி வகைக்கெழுவினால் வரையறுக்கப்படுகிறது. அது பொதுவாக ∂ y/∂ x எனக் குறிப்பிடப்படுகிறது. ஒரு நேரத்தில் அனைத்து திசைகளிலும் f இன் தொகையாக்கம் மொத்த வகைக்கெழு எனப்படுகிறது. இது நேரியல் உருமாற்றம் எனப்படுகிறது. மேலும் இது f இன் மிகவும் நெருங்கிய தோராய மதிப்பிலான வரைபடத்துக்கான மிகைத்தளத்தை வரையறுக்கிறது. இந்த மிகைத்தளம் கொஞ்சுகின்ற மிகைத்தளம் என அழைக்கப்படுகிறது. இது கருத்தியல் ரீதியாக ஒரே நேரத்தில் அனைத்து திசைகளில் இருந்தும் தொடு கோடுகளை எடுப்பதுடன் ஒத்திருக்கிறது.

வகையீட்டின் வரலாறு

தொடு கோடு சார்ந்து வகைக்கெழுவின் கருத்து மிகவும் பழமையானதாகும். இது கிரேக்க வடிவவியலார்களான ஈக்லிட் (Euclid) (பொது காலம் 300), ஆர்கிமிடிஸ் (Archimedes) (பொது காலம் 287 முதல் 212 வரை) மற்றும் அப்பல்லோனியஸ் ஆஃப் பெர்கா (Apollonius of Perga) (பொது காலம் 262 முதல் 190 வரை) ஆகியோரிடையே மிகவும் பழக்கமான ஒன்றாக இருந்தது.[1] எனினும் அவை வகைக்கெழுக்கள் மற்றும் தொடுகோடுகளில் பயன்படுத்தப்படுவதற்கு மாறாக ஆய்வுப் பகுதிகள் மற்றும் கன அளவுகளில் முதன்மையாகப் பயன்படுத்தப்பட்டன என்றாலும், ஆர்கிமிடிஸ் நுண்ணளவுகளின் பயன்பாட்டையும் அறிமுகப்படுத்தினார். பார்க்க: ஆர்கிமிடிஸ்' நுண்ணளவின் பயன்பாடு

மாற்றத்தின் ஆய்வு வீதங்களுக்கு நுண்ணளவுகளைப் பயன்படுத்துவதை இந்தியக் கணிதத்தில் காணலாம். 500 CEக்கு முன்பே நிலவின் இயக்கத்தை ஆய்வு செய்வதற்காக வானியல் வல்லுநரும் கணிதயியலாளருமான ஆரியபட்டா (Aryabhata) (476–550) நுண்ணளவுகளைப் பயன்படுத்தினார்.[2] மாற்ற வீதங்களைக் கணக்கிடுவதற்கு நுண்ணளவுகளைப் பயன்படுத்துவதை பாஸ்கரா II (Bhāskara II) (1114-1185) கணிசமான அளவுக்கு மேம்படுத்தியது. உண்மையில் வகையீட்டு நுண்கணிதமானது "ரோலின் தேற்றம்" போன்ற அவரது பணிகளினால் கண்டறியப்பட்டிருக்கலாம் என பல அடிப்படை கருத்தமைவுகளில் வாதிடப்படுகின்றன[3].[4] வகையீட்டு நுண்கணிதத்தின் முக்கிய தீர்வான முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வகைக்கெழுவை முதன் முதலில் பெர்சிய கணிதவியலாளர் ஷாராஃப் அல்தின் அல்துசி (Sharaf al-Dīn al-Tūsī) (1135-1213) கண்டறிந்தார்.[5] நேர்மறையான தீர்வுகளைத் தராமல் போக வாய்ப்பிருக்கக் கூடிய முப்படிச் சமன்பாடுகளுக்குத் தீர்வு காண்பதற்கு மாற்றாக வளைவுகளின் வகைக்கெழு சார்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்புகள் மற்றும் மீச்சிறுமதிப்புகள் போன்ற வகை நுண்கணிதம் தொடர்புடைய கருத்துக்களை அவரது சமன்பாடுகள் மீதான ஆய்வுக்கட்டுரை மேம்படுத்தியது.[6] இடை மதிப்புத் தேற்றத்தின் ஆரம்பப் பதிப்பானது வானியல் மற்றும் கணிதத்துக்கான கேரளப் பள்ளியைச் சேர்ந்த பரமேஷ்வரா (Parameshvara) (1370–1460) மூலமாக பாஸ்கரா II மீதான அவரது விளக்கவுரையில் முதன் முதலில் விவரிக்கப்பட்டது.[7]

நுண்கணிதத்தின் நவீன மேம்பாட்டுக்கான நற்பெயர் பொதுவாக ஐசக் நியூட்டன் (Isaac Newton) (1643 – 1727) மற்றும் காட்ஃபிரைடு லீப்னிஸ் (Gottfried Leibniz) (1646 – 1716) ஆகியோருக்குச் செல்கிறது. ஏனெனில் அவர்கள் வகையீடு மற்றும் வகைக்கெழுக்களுக்கு சார்பற்ற[8] மற்றும் தனித்த அணுகுமுறைகளை வழங்கினர். எனினும் இதில் குறிப்பிடத்தக்க விசயம் அவர்கள் இந்த நற்பெயரை வகையீடு மற்றும் தொகையீடு தொடர்புடைய நுண்கணிதத்தின் அடிப்படை தேற்றத்திற்காகப் பெற்றனர் என்பதாகும். அவை கணக்கீட்டுப் பகுதிகள் மற்றும் கன அளவுக்கான முந்தைய முறைகளில் வழக்கற்றுப் போயின.[9] இப்ன் அல்ஹேதம் (Ibn al-Haytham) (அல்ஹாசன்) காலத்தில் இருந்து அவை கொஞ்சம் கொஞ்சமாக விரிவுபடுத்தப்படவில்லை.[10] நியூட்டன் லீப்நிஸ் இருவருமே வகைக்கெழுக்கள் சார்ந்த அவர்களது உத்திகளுக்காக ஐசக் பேரோ (Isaac Barrow) (1630 – 1677), ரெனெ டெஸ்கார்டஸ் (René Descartes) (1596 – 1650), கிறிஸ்டியன் ஹய்கன்ஸ் (Christiaan Huygens) (1629 – 1695), பிளைசி பாஸ்கல் (Blaise Pascal) (1623 – 1662) மற்றும் ஜான் வால்லிஸ் (John Wallis) (1616 – 1703) போன்ற கணிதவியலாளர்களின் ஆரம்பகாலப் பணிகளைக் கணிசமாகப் பயன்படுத்திக் கொண்டனர். குறிப்பாக ஐசக் பேரோ வகைக்கெழுக்களின் ஆரம்ப கால மேம்பாட்டிற்காக அடிக்கடி பாராட்டப்படுகிறார்.[11] எனினும் நியூட்டன் மற்றும் லீப்நிஸ் வகையீட்டின் வரலாற்றில் முக்கிய நபர்களாக குறைவின்றி நீடிக்கின்றனர். ஏனெனில் நியூட்டன் வகையீட்டை முதன் முதலில் கருத்தியற்பியலில் பயன்படுத்தினார். அதே சமயம் லீப்நிஸ் இன்றும் பயன்படுத்தப்படும் பெரும்பாலான குறிமுறைகளை முறைப்படுத்தி மேம்படுத்தினார்.

17 ஆம் நூற்றாண்டில் இருந்து பல கணிதவியலாளர்கள் வகையீட்டுத் தேற்றத்திற்கான அவர்களது பங்களிப்பை வழங்கியுள்ளனர். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் அகஸ்டின் லூயிஸ் காச்சி (Augustin Louis Cauchy) (1789 – 1857), பெர்ன்ஹார்ட் ரீமன் (Bernhard Riemann) (1826 – 1866), மற்றும் கார்ல் வெய்ர்ஸ்ட்ராஸ் (Karl Weierstrass) (1815 – 1897) போன்ற கணிதவியலாளர்கள் நுண்கணிதத்தில் அவர்களது வலிமையான தடத்தினைப் பதித்தனர். மேலும் அந்த கால கட்டத்தில் வகையீடானது யூக்ளிடிய வெளி மற்றும் சிக்கலெண் தளம் ஆகியவற்றில் பரவியிருந்தது.

வகைக்கெழுக்களின் பயன்பாடுகள்

உகமம்

f என்பது R (அல்லது ஒரு திறந்த இடைவெளி) மீதான வகையிடத்தக்க சார்பு மற்றும் x என்பது f இன் இடஞ்சார்ந்த பெருமம் அல்லது இடஞ்சார்ந்த சிறுமம் எனக் கொண்டால் x இல் f இன் வகைக்கெழு பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். இதில் புள்ளிகள் f '(x ) = 0 மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அல்லது நிலைப் புள்ளிகள் (மேலும் x இல் f இன் மதிப்பு மாறுநிலை மதிப்பு என அழைக்கப்படுகிறது) என்று அழைக்கப்படுகின்றன. (மாறுநிலைப் புள்ளியின் வரையறை சிலநேரங்களில் வகைக்கெழு நிலவ இயலாத புள்ளிகள் உள்ளிட்ட புள்ளிகளுக்கு விரிவடைகிறது.) மாறாக f இன் மாறுநிலைப் புள்ளி x ஆனது x இல் f இன் இரண்டாவது வகைக்கெழுவாகக் கருதப்படுவதன் மூலமாக பகுக்கப்படலாம்:

இது நேர்மறையானதாக இருந்தால் x ஆனது இடஞ்சார்ந்த சிறுமமாக இருக்கும்;
இது எதிர்மறையானதாக இருந்தால் x ஆனது இடஞ்சார்ந்த பெருமமாக இருக்கும்;
இது பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் x ஆனது இடஞ்சார்ந்த சிறுமமாகவோ இடஞ்சார்ந்த பெருமமாகவோ அல்லது இரண்டுமற்றதாகவோ இருக்கலாம் (எடுத்துக்காட்டாக f(x)=x³ ஆனது x=0 இல் மாறுநிலைப் புள்ளியைக் கொண்டிருக்கிறது. ஆனால் அது அதில் பெருமமாகவோ சிறுமமாகவோ இல்லை. அதே சமயம் f (x ) = ±x ⁴ ஆனது x = 0 இல் மாறுநிலைப் புள்ளியைக் கொண்டிருக்கின்றன மற்றும் அவற்றில் முறையே சிறுமம் மற்றும் பெருமத்தைக் கொண்டிருக்கின்றன).

இது இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இதற்கு மாற்று அணுகுமுறை முதல் வகைக்கெழு சோதனை என்று அழைக்கப்படுகிறது. இது மாறுநிலைப் புள்ளியின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் மீதும் f இன் குறியீடைக் கருதுவது தொடர்புடையதாக இருக்கிறது.

வகைக்கெழுக்களை எடுத்து மாறுநிலைப் புள்ளிகளுக்காக தீர்வு காண்பது என்பது பொதுவாக உகமத்தில் பயன் நிறைந்ததாக இருக்கும் இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்பு அல்லது மீப்பெருமதிப்பினை எளிதாகக் கண்டறிவதற்கான வழியாக இருக்கிறது. முகட்டு மதிப்புத் தேற்றம் மூலமாக மூடிய இடைவெளி மீதான தொடர் சார்பானது ஒரு முறையாவது அதன் மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பை அடைய வேண்டும். சார்பானது வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால் மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பு ஆகியவை மாறுநிலைப் புள்ளிகள் அல்லது இறுதிப் புள்ளிகளில் மட்டுமே ஏற்படும்.

இது வளைவரை வரைதலிலும் பயன்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கிறது. வகையிடத்தக்க சார்பின் இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்பு மற்றும் மீப்பெருமதிப்பு கண்டறியப்பட்டவுடன் வளைவரையின் தோராயத் திட்டம் கவனிப்பில் இருந்து கிடைக்கலாம். அது மாறுநிலைப் புள்ளிகளுக்கு இடையில் அதிகரிப்பதாகவோ அல்லது குறைவதாகவோ இருக்கும்.

உயர் பரிமாணங்களில் ஸ்கேலார் மதிப்புடைய சார்பின் மாறுநிலைப் புள்ளியானது சாய்வு விகிதம் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் இடத்திலுள்ள ஒரு புள்ளியாகும். இரண்டாம் வகைக்கெழு சோதனையானது மாறுநிலைப் புள்ளியில் சார்பின் இரண்டாம் பகுதியளவு வகைக்கெழுக்களின் ஹெஸ்ஸியன் அணியின் ஈகன் மதிப்புகளாகக் கருதப்படுவதன் மூலமாக மாறுநிலைப் புள்ளிகளை ஆய்வு செய்வதற்கு இன்றும் பயன்படுத்தப்படலாம். அனைத்து ஈகன் மதிப்புகளும் நேர்மறையாக இருந்தால் புள்ளியானது இடஞ்சார்ந்த மீச்சிறுமதிப்புடையதாக இருக்கும். அனைத்து ஈகன் மதிப்புகளும் எதிர்மறையாக இருந்தால் புள்ளியானது இடஞ்சார்ந்த மீப்பெருமதிப்புடையதாக இருக்கும். சில நேர்மறை மற்றும் சில எதிர்மறை ஈகன் மதிப்புகள் இருந்தால் மாறுநிலைப் புள்ளியானது சேணப்புள்ளியாக இருக்கும். மேலும் இதில் எந்த நிலைகளும் ஏற்படாவிட்டால் (அதாவது ஈகன் மதிப்புகளில் சில பூஜ்ஜியமாக இருந்தால்) சோதனையானது முடிவுறாததாக இருக்கும்.

நுண்கணித வேறுபாடுகள்

மேற்பரப்பின் மீது இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் மீச்சிறு வளைவைக் கண்டறிதல் உகமக் கணக்கிற்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இதில் அந்த வளைவும் மேற்பரப்பில் அமைந்திருக்க வேண்டுமெனக் கருதப்படுகிறது. இதில் மேற்பரப்பானது தளமாக இருந்தால் மீச்சிறு வளைவு கோடாக இருக்கும். ஆனால் மேற்பரப்பானது எடுத்துக்காட்டாக முட்டை வடிவத்தில் இருந்தால் மீச்சிறு பாதை உடனடியாகத் தெளிவாகத் தெரியாது. இப்பாதைகள் கோள மேற்பரப்பிற்கு உரியவைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன. மேலும் நுண்கணித வேறுபாடுகளின் எளிமையான கணக்குகளில் ஒன்று கோள மேற்பரப்புக்கு உரியவைகளைக் கண்டறிதல் ஆகும். வெளியின் மூடிய வளைவில் நிரம்பியிருக்கும் மேற்பரப்பின் சிறிய பகுதியைக் கண்டறிதல் மற்றொரு எடுத்துக்காட்டு ஆகும். இந்த மேற்பரப்பு சிறும மேற்பரப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் இதனையும் நுண்கணித வேறுபாடுகளைப் பயன்படுத்திக் கண்டறியலாம்.

இயற்பியல்

நுண்கணிதமானது இயற்பியலில் மிகவும் இன்றியமையாததாக இருக்கிறது. பெரும்பாலான இயற்பியல் செயல்பாடுகள் வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் என அழைக்கப்படும் வகைக்கெழுக்கள் தொடர்புடைய சமன்பாடுகள் மூலமாக விவரிக்கப்படுகின்றன. இயற்பியல் குறிப்பாக நேரம் சார்ந்த அளவு மாற்றங்கள் மற்றும் வெளிப்பாடு தொடர்புடையதாக இருக்கிறது. மேலும் நேரம் சார்ந்த மாற்றத்தின் விகிதமான "நேர வகைக்கெழு " கருத்தானது பல்வேறு முக்கிய கருத்துக்களின் துல்லியமான வரையறைக்கு இன்றியமையாததாக இருக்கிறது. குறிப்பாக பொருளின் நிலையின் நேர வகைக்கெழுக்கள் நியூட்டன் விதிக்குட்பட்ட இயற்பியலில் குறிப்பிடத்தக்கதாக இருக்கின்றன:

திசைவேகம் என்பது ஒரு பொருளின் இடப்பெயர்ச்சியின் (ஆரம்ப நிலையில் இருந்து தொலைவில்) வகைக்கெழுவாக (நேரம் சார்ந்து) இருக்கிறது.
முடுக்கம் என்பது பொருளின் திசைவேகத்தின் வகைக்கெழுவாக (நேரம் சார்ந்து) இருக்கிறது. அதாவது இது அந்தப் பொருளின் நிலையில் இரண்டாம் வகைக்கெழுவாக (நேரம் சார்ந்து) இருக்கிறது.

எடுத்துக்காட்டாக, பொருளின் நிலை கோட்டின் மீது பின்வருமாறு இருப்பதாகக் கொண்டால்

x(t)=-16t^{2}+16t+32,\,\!

அந்த பொருளின் திசைவேகம்,

{\dot {x}}(t)=x'(t)=-32t+16,\,\!

ஆகும். அந்தப் பொருளின் முடுக்கம்,

{\ddot {x}}(t)=x''(t)=-32,\,\!

ஆகும். இது மாறிலியாக இருக்கும்.

வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள்

வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது சார்புகளின் தொகுப்பு மற்றும் அவற்றின் வகைக்கெழுக்களுக்கு இடையில் உள்ள தொடர்பு ஆகும். ஒரு சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது ஒரு மாறியின் சார்புகளை அந்த மாறி சார்பாக அவற்றின் வகைக்கெழுக்களுடன் தொடர்புபடுத்தும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு ஆகும். ஒரு பகுதியளவு வகைக்கெழுச் சமன்பாடு என்பது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட மாறிகளின் சார்புகளை அவற்றின் பகுதியளவு வகைக்கெழுக்களுக்குத் தொடர்புபடுத்தும் வகைக்கெழுச் சமன்பாடு ஆகும். வகைக்கெழுச் சமன்பாடுகள் இயற்பியல் அறிவியல்கள், கணித மாதிரியமைத்தல் மற்றும் கணிதத்தின் உள்ளேயே ஆகியவற்றில் இயல்பாக ஏற்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக முடுக்கம் மற்றும் நிலைக்கு இடையில் உள்ள தொடர்பை விவரிக்கும் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதியை சாதாரண வகைக்கெழுச் சமன்பாடாகக் குறிப்பிட இயலும்

F(t)=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}.

ஒரு நேரான தடியின் ஊடாக எப்படி வெப்பம் பரவுகிறது என்பதை விவரிக்கும் ஒரு வெளி மாறியிலுள்ள வெப்பச் சமன்பாடு பகுதியளவு வகைக்கெழுச் சமன்பாடு ஆகும்

{\frac {\partial u}{\partial t}}=\alpha {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.

இங்கு u (x , t ) என்பது x நிலை மற்றும் t நேரத்தில் தடியின் வெப்பநிலை ஆகும். α என்பது தடியின் வழியாக எவ்வளவு வேகமாக வெப்பம் பரவுகிறது என்பது சார்ந்த மாறிலி ஆகும்.

இடை மதிப்புத் தேற்றம்

இடை மதிப்புத் தேற்றமானது வகைக்கெழுவின் மதிப்புகளுக்கும் ஆரம்ப சார்பின் மதிப்புகளுக்கும் இடையில் உள்ள தொடர்பைத் தருவதாகும். f (x ) என்பது உண்மையான மதிப்புடைய சார்பு மற்றும் a மற்றும் b என்பவை a < b உடன் கூடிய எண்களாக இருந்தால் (a , f (a )) மற்றும் (b , f (b )) ஆகிய இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் உள்ள சாய்வானது a மற்றும் b என்பனவற்றுக்கு இடையில் உள்ள c இன் சில புள்ளிகளில் f க்கு தொடு கோட்டின் சாய்வுக்குச் சமமாக இருக்கும் என மிதமான கற்பிதத்தின் அடிப்படையில் இடை மதிப்புத் தேற்றம் கூறுகிறது. இதனை வேறு விதத்தில் பின்வருமாறு கூறலாம்

f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.

நடைமுறையில் இடை மதிப்புத் தேற்றம் செய்வது என்னவென்றால் அது அதன் வகைக்கெழுவின் வரையறைகளில் சார்பைக் கட்டுப்படுத்துவதாக இருக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, f என்பது ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் பூஜ்ஜியத்திற்குச் சமமாக இருக்கும் வகைக்கெழுவைக் கொண்டிருக்கிறது என்று கருதுக. இதன் பொருள் என்னவென்றால், இதன் தொடு கோடு ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கிடைமட்டமாக இருக்கிறது என்பதாகும். அதனால் சார்பும் கிடைமட்டமாக இருக்க வேண்டும். இடை மதிப்புத் தேற்றமானது இதனை உண்மையென நிரூபிக்கிறது. f என்ற வளைவரை மீது ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுக்கு இடையில் உள்ள சாய்வானது f இன் தொடு கோடுகளில் ஒன்றின் சாய்வுடன் சமமானதாக இருக்கும். அவை அனைத்தின் சாய்வுகளும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். அதனால் வளைவரையில் ஒரு புள்ளியில் இருந்து மற்றொரு புள்ளிக்குச் செல்லும் கோட்டின் சாய்வும் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும். ஆனால் இங்கு சார்பானது மேலேயோ கீழேயோ நகராது எனக் கூறப்படுகிறது. அதனால் அது கிடைமட்டக் கோடாக இருக்க வேண்டும். வகைக்கெழு மீதான மிகவும் சிக்கலான நிலைகள் துல்லியத்தைக் குறைப்பதற்கு வழிவகுக்கும். ஆனால் ஆரம்ப சார்பு பற்றிய மிகவும் பயனுள்ள தகவல்கள் கிடைக்கும்.

டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் மற்றும் டெய்லர் தொடர்

வகைக்கெழுவானது சிறந்த சாத்தியமுள்ள தொகை தோராயமதிப்பைத் தருகிறது. ஆனால் இது ஆரம்பச் சார்பில் இருந்து மிகவும் மாறுபட்டதாக இருக்கலாம். தோராயமதிப்பை மேம்படுத்துவதற்கான ஒரு வழி இருபடி தோராயமதிப்பை எடுப்பது ஆகும். x ₀ என்ற புள்ளியில் உண்மை மதிப்புடைய சார்பு f (x ) இன் தொகையாக்கம் என்பது ஒருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை a + b (x - x ₀) ஆக இருக்கிறது. மேலும் இதனை இருபடி பல்லுறுப்புக் கோவை a + b (x - x ₀) + c (x - x ₀)² ஆகக் கருதப்படும் போது இது சிறந்த சாத்தியமுள்ள தோராய மதிப்பினைத் தரக்கூடும் எனக் கூறலாம். முப்படி பல்லுறுப்புக் கோவை a + b (x - x ₀) + c (x - x ₀)² + d (x - x ₀)³ ஆக இருக்கும் போது இன்னும் சிறந்த தீர்வைப் பெறலாம். மேலும் இந்த கருத்து தொடர்ந்து மனம் போன போக்கில் அதிகளவில் பல்லுறுப்புக் கோவைகளை அதிகரித்துக் கொண்டே செல்வதற்கும் பொருந்தும். இந்தப் பல்லுறுப்புக் கோவைகள் ஒவ்வொன்றுக்காகவும் a, b, c மற்றும் d ஆகிய சிறந்த சாத்தியமுள்ள குணகங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டிருக்க வேண்டும். அவை மிகவும் சிறந்த சாத்தியமுள்ள வழியில் தோராய மதிப்பு கிடைக்க ஏதுவாக்கும்.

சிறந்த சாத்தியமுள்ள தேர்வு aக்கு எப்போதும் f (x ₀) ஆகவும் bக்கு எப்போதும் f' (x ₀) ஆகவும் இருக்கிறது. c, d மற்றும் உயர் நிலை குணகங்களுக்காக இந்த குணகங்கள் f இன் உயர் வகைக்கெழுக்கள் மூலமாக வரையறுக்கப்படலாம். இதில் c எப்போதும் f'' (x ₀)/2 வையும் d எப்போதும் f''' (x ₀)/3! ஐயும் கொண்டிருக்கும். இந்தக் குணகங்களைப் பயன்படுத்தும் போது f இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவை கிடைக்கும். படி d இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவையானது சிறந்த தோராயமதிப்பு f ஐ கொடுக்கக்கூடிய படி d இன் பல்லுறுப்புக் கோவை ஆகும். மேலும் அதன் குணகங்களை மேற்கண்ட சூத்திரங்களை பொதுக்காரணியாக்கல் மூலமாகக் கண்டறியலாம். டெய்லரின் தேற்றம் தோராய மதிப்பு எந்தளவிற்குச் சிறந்ததாக இருக்கிறது என்பதற்கான துல்லியமான வரம்பினைத் தருகிறது. f என்பது d க்கு குறைவாயுள்ள அல்லது சமமாகவுள்ள படியின் பல்லுறுப்புக் கோவையாக இருக்கிறது எனக் கொண்டால் படி d இன் டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவை f க்குச் சமமானதாக இருக்கும்.

டெய்லர் பல்லுறுப்புக் கோவைகளின் வரம்பு டெய்லர் தொடர் என்று அழைக்கப்படும் முடிவிலாத் தொடர் ஆகும். டெய்லர் தொடர் என்பது பொதுவாக ஆரம்பச் சார்புக்கு மிகவும் சிறந்த தோராயமதிப்பாக இருக்கிறது. டெய்லர் தொடருக்குச் சமமாக உள்ள சார்புகள் வகைமுறை சார்புகள் என்று அழைக்கபடுகின்றன. வகைமுறைக்காக தொடர்ச்சியற்ற அல்லது கூர்மையான முனைகளுடன் கூடிய சார்புகள் இருப்பதற்கு சாத்தியங்கள் இல்லை. ஆனால் வகைமுறையாக இல்லாத எளிய சார்புகள் இருக்கின்றன.

உட்படு சார்புத் தேற்றம்

வட்டங்கள் போன்ற சில இயல்பான வடிவியல் வடிவங்களை சார்பின் வரைபடமாக வரைய இயலாது. எடுத்துக்காட்டாக F (x , y ) = x ² + y ² − 1 எனக்கொண்டால் வட்டமானது F (x , y ) = 0 போன்ற அனைத்து இணைகளின் (x , y ) இன் தொகுப்பாக இருக்கும். இந்தத் தொகுப்பு F இன் பூஜ்ஜியத் தொகுப்பு என அழைக்கப்படுகிறது. இது கூம்பு வடிவத்தில் இருக்கும் F இன் வரைபடத்தினை ஒத்தது அல்ல. உட்படு சார்பு தேற்றமானது சார்புகளினுள் F (x , y ) = 0 போன்ற தொடர்புகளை மாற்றம் செய்கிறது. இது F என்பது தொடர்ந்து வகையிடத்தக்கதாக இருந்தால் அதனைச் சுற்றிய பெரும்பாலான புள்ளிகள் F இன் பூஜ்ஜியத் தொகுப்பாக இருக்கும் என்பதைக் குறிப்பிடுகிறது. இது சார்புகளின் வரைபடங்களை ஒன்றோடொன்று இணைத்தார்போல் தோற்றமளிக்கும். இது உண்மையில்லை எனும் புள்ளிகள் F இன் வகைக்கெழு மீதான கட்டுப்பாடு மூலமாக வரையறுக்கப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக இந்த வட்டமானது $\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ என்ற இரண்டு சார்புகள் சார்ந்த வரைபடங்களில் இருந்து ஒன்றோடொன்று இணைக்கப்படலாம். (-1, 0) மற்றும் (1, 0) தவிர்த்து வட்டத்தின் மீதான மற்ற அருகருகே உள்ள புள்ளிகளில் இந்த இரண்டு சார்புகளில் ஒன்று வட்டத்தைப் போன்று தோற்றமளிக்கும் வரைபடமாக இருக்கும். (இந்த இரண்டு சார்புகளும் (-1, 0) மற்றும் (1, 0) ஆகிய புள்ளிகளிலும் சந்திக்கலாம். ஆனால் அது உட்படு சார்பு தேற்றத்தின் மூலமாக பொறுப்புறுதி அளிக்கப்படவில்லை.)

உட்படு சார்புத் தேற்றமானது தலைகீழ் சார்புத் தேற்றத்துடன் மிகவும் நெருங்கிய தொடர்பு கொண்டதாக இருக்கிறது. தலைகீழ் சார்புகளை ஒன்றோடொன்று இணைக்கும் போது சார்பின் வரைபடங்கள் அவ்வாறு தோற்றமளிக்கும் என தலைகீழ் சார்புத் தேற்றம் குறிப்பிடுகிறது.

குறிப்புதவிகள்

See Euclid's Elements, The Archimedes Palimpsest and O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Apollonius of Perga", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius.html.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Aryabhata the Elder", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html.
Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.
Broadbent, T. A. A. (October 1968), "Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar", The Mathematical Gazette 52 (381): 307–8, doi:10.2307/3614212
J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf.html.
O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Paramesvara", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Paramesvara.html.
Newton began his work in 1666 and Leibniz began his in 1676. However, Leibniz published his first paper in 1684, predating Newton's publication in 1693. It is possible that Leibniz saw drafts of Newton's work in 1673 or 1676, or that Newton made use of Leibniz's work to refine his own. Both Newton and Leibniz claimed that the other plagiarized their respective works. This resulted in a bitter controversy between the two men over who first invented calculus which shook the mathematical community in the early 18th century.
This was a monumental achievement, even though a restricted version had been proven previously by James Gregory (1638 – 1675), and some key examples can be found in the work of Pierre de Fermat (1601 – 1665).
Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165-9 & 173-4]
Eves, H. (1990).

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] See Euclid's Elements, The Archimedes Palimpsest and O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Apollonius of Perga", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius.html.

[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Aryabhata the Elder", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Aryabhata_I.html.

[3] Ian G. Pearce. Bhaskaracharya II.

[4] Broadbent, T. A. A. (October 1968), "Reviewed work(s): The History of Ancient Indian Mathematics by C. N. Srinivasiengar", The Mathematical Gazette 52 (381): 307–8, doi:10.2307/3614212

[5] J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.

[Sharaf-6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Al-Tusi_Sharaf.html.

[7] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "Paramesvara", MacTutor History of Mathematics archive, புனித ஆண்ட்ரூசு பல்கலைக்கழகம், http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Paramesvara.html.

[8] Newton began his work in 1666 and Leibniz began his in 1676. However, Leibniz published his first paper in 1684, predating Newton's publication in 1693. It is possible that Leibniz saw drafts of Newton's work in 1673 or 1676, or that Newton made use of Leibniz's work to refine his own. Both Newton and Leibniz claimed that the other plagiarized their respective works. This resulted in a bitter controversy between the two men over who first invented calculus which shook the mathematical community in the early 18th century.

[9] This was a monumental achievement, even though a restricted version had been proven previously by James Gregory (1638 – 1675), and some key examples can be found in the work of Pierre de Fermat (1601 – 1665).

[Katz-10] Victor J. Katz (1995), "Ideas of Calculus in Islam and India", Mathematics Magazine 68 (3): 163-174 [165-9 & 173-4]

[11] Eves, H. (1990).