மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்

n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண் காணும் வாய்ப்பாடு:

${\displaystyle C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}.\,}$

அதாவது அடுத்தடுத்த இரு வர்க்க எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்ணாகும்.

பின்வரும் பட அமைப்பு இந்த வாய்ப்பாட்டை விளக்குகிறது:

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4}$		${\displaystyle C_{4,3}=4+9}$		${\displaystyle C_{4,4}=9+16}$

மேலே தரப்பட்ட வாய்ப்பாட்டைப் பின்வருமாறு மாற்றி அமைக்கலாம்:

${\displaystyle C_{4,n}={(2n-1)^{2}+1 \over 2};}$

அதாவது, n -ஆம் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண், n -ஆம் ஒற்றை வர்க்க எண்ணில் பாதியளவு மற்றும் எண் ஒன்றின் கூட்டுத்தொகையாகும்.

${\displaystyle C_{4,1}=(1+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,2}=(9+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,3}=(25+1)/2}$		${\displaystyle C_{4,4}=(49+1)/2}$

எல்லா பலகோண எண்களைப் போலவே மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களையும் முக்கோண எண்களின் மூலமாக எழுதலாம்:

${\displaystyle C_{4,n}=1+4\,T_{n-1},\,}$

இங்கு T_n , n -ஆம் முக்கோண எண்.

${\displaystyle T_{n}={n(n+1) \over 2}={n^{2}+n \over 2}={n+1 \choose 2}}$

கீழே தரப்பட்டுள்ளபடி மையப்புள்ளியைத் தவிர்த்து மீதமுள்ள வடிவை நான்கு முக்கோணங்களாகப் பிரிக்க மேலேயுள்ள வாய்ப்பாடு கிடைக்கும்.

${\displaystyle C_{4,1}=1}$		${\displaystyle C_{4,2}=1+4\times 1}$		${\displaystyle C_{4,3}=1+4\times 3}$		${\displaystyle C_{4,4}=1+4\times 6.}$

அடுத்தடுத்த இரு எண்முக எண்களின் வித்தியாசம் ஒரு மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்.([1])

முதல் மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்கள் சில:

1 , 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181, 221, 265, 313, 365, 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, … (OEIS-இல் வரிசை A001844)

.

அனைத்து மையப்படுத்தப்பட்ட வர்க்க எண்களும் ஒற்றை எண்களாக இருப்பதைக் காணலாம். மேலும் அவை 1-5-3-5-1 என்ற அமைப்பில் உள்ளன..

ஒன்றைத் தவிர பிற மையப்படுத்தப்பட்ட சதுர எண்கள் அனைத்தும் பித்தாகரசின் மும்மைகளில் தாங்கிப்பக்கம்-செம்பக்கமாக இருப்பதைக் காணலாம் (எடுத்துக்காட்டு: 3-4-5, 5-12-13).

• Alfred, U. (1962), "n and n + 1 consecutive integers with equal sums of squares", Mathematics Magazine 35 (3): 155–164.
• வார்ப்புரு:Apostol IANT.
• Beiler, A. H. (1964), Recreations in the Theory of Numbers, New York: Dover, p. 125.
• John Conway; Richard K. Guy (1996), The Book of Numbers, New York: Copernicus, pp. 41–42, பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-97993-X.

• (n^2 + 1) / 2 as a special case of M(i,j) = (i^2 + j) / 2