பெருக்கல் பிரிவினை

• எண் 20 இன் நான்கு பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

2 × 2 × 5, 2 × 10, 4 × 5, 20.

• எண் 81 இன் ஐந்து பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

3 × 3 × 3 × 3, 3 × 3 × 9, 3 × 27, 9 × 9, 81

81 = 3⁴ என ஒரு பகா எண்ணின் நான்காம் அடுக்காக உள்ளதால், எண் 4 க்கு உள்ள கூட்டல் பிரிவினைகளின் எண்ணிகையே, 81 இன் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கும்.

• எண் 30 இன் ஐந்து பெருக்கல் பிரிவினைகள்:

2 × 3 × 5 = 2 × 15 = 6 × 5 = 3 × 10 = 30.

• பொதுவாக, i பகாக்காரணிகளுடைய ஒரு வர்க்கக்காரணியற்ற முழுஎண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை i ஆவது பெல் எண் B_i ஆக இருக்கும்.

முழுஎண்களைத் தரப்பட்ட வகுஎண்களின் அடிப்படையில் வகைப்படுத்துவதில் பெருக்கல் பிரிவினைகள் பயன்படுவதைக் கணிதவியலாளர்கள் ஹுயூக்சு மற்றும் ஷாலிட் (Hughes & Shallit (1983)) விளக்கியுள்ளனர். எடுத்துக்காட்டாக, சரியாக 12 வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்கள் கீழ்வரும் வடிவிலமைகின்றன:

p¹¹, p×q⁵, p²×q³, p×q×r². இதில் p, q, r மூன்றும் வெவ்வேறான பகா எண்கள்.

இவை ஒவ்வொன்றும் முறையே 12, 2×6, 3×4, and 2×2×3 ஆகிய பெருக்கல் பிரிவினைகளுக்கு ஒத்தவையாக உள்ளன.

பொதுவாக,

முழுஎண் k இன் பெருக்கல் பிரிவினைகள்

${\displaystyle k=\prod t_{i}}$ எனில்

இவற்றுக்கு ஒத்ததாக k வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்கள், கீழுள்ள வடிவமைப்புள்ள வகைப்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கும்:

${\displaystyle \prod p_{i}^{t_{i}-1}.}$ இதில் p_i ஒவ்வொன்றும் வெவ்வேறான பகா எண்கள்.

இவ்வாறு ஒரு முழு எண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகள், அந்த எண்ணளவு வகுஎண்கள் கொண்ட முழுஎண்களின் வகைப்பாடுகளை ஒத்தமைவதற்குக் காரணம், வகுஎண் சார்பின் பெருக்கல் பண்பாகும்.

ஒரு முழுஎண்ணின் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை குறித்த முடிவுகளைக் கணிதவியலாளர்கள் ஓப்பென்கெயிம் (Oppenheim (1926)) மற்றும் மெக்மெகன் McMahon (1923) இருவரும் கண்டறிந்துள்ளனர். n இன் பெருக்கல் பிரிவினைகளின் எண்ணிக்கை a_n எனில், அதன் டிரிழ்ச்லெட் தொடரின் பிறப்பாக்கிச் சார்பு ƒ(s) இன் உருவகிப்பு:

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\prod _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{1-k^{-s}}}.}$

a_n இன் தொடர்வரிசையின் துவக்க எண்கள்:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 2, 2, 5, ... (OEIS-இல் வரிசை A001055)

.

ஓப்பென்ஹெயிமால் கண்டறியப்பட்ட a_n இன் மேல்வரம்பு:

${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-2+o(1)},}$

ஆனால் பின்னாளில் இது தவறான மதிப்பு என்றறிந்து (Canfield, Erdős & Pomerance (1983)) கீழ்வரும் சரியான மதிப்பு கண்டுபிடிக்கப்பட்டது:

${\displaystyle a_{n}\leq n\left(\exp {\frac {\log n\log \log \log n}{\log \log n}}\right)^{-1+o(1)}.}$

x ≤ n ≤ x+N இடைவெளியில் சராசரிப்படுத்தப்பட்ட a_n இன் சராசரி மதிப்பு:

${\displaystyle {\bar {a}}=\exp \left({\frac {4{\sqrt {\log N}}}{{\sqrt {2e}}\log \log N}}{\bigl (}1+o(1){\bigr )}\right),}$

• George E. Andrews (1976), The Theory of Partitions, Addison-Wesley, chapter 12.
• Canfield, E. R.; Paul Erdős; Carl Pomerance (1983), "On a problem of Oppenheim concerning "factorisatio numerorum"", Journal of Number Theory 17 (1): 1–28, doi:10.1016/0022-314X(83)90002-1.
• Hughes, John F.; Jeffrey Shallit (1983), "On the number of multiplicative partitions", American Mathematical Monthly 90 (7): 468–471, doi:10.2307/2975729.
• Knopfmacher, A.; Mays, M. (2006), "Ordered and Unordered Factorizations of Integers", Mathematica Journal 10: 72–89. As cited by MathWorld.
• Luca, Florian; Mukhopadhyay, Anirban; Srinivas, Kotyada (2008), On the Oppenheim's "factorisatio numerorum" function.
• Percy Alexander MacMahon (1923), "Dirichlet series and the theory of partitions", Proceedings of the London Mathematical Society 22: 404–411, doi:10.1112/plms/s2-22.1.404, http://plms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s2-22/1/404.
• Oppenheim, A. (1926), "On an arithmetic function", Journal of the London Mathematical Society 1 (4): 205–211, doi:10.1112/jlms/s1-1.4.205, http://jlms.oxfordjournals.org/cgi/reprint/s1-1/4/205.

• Knopfmacher, A.; Mays, M. E. (2005), "A survey of factorization counting functions", International Journal of Number Theory 1 (4): 563–581, doi:10.1142/S1793042105000315, http://math.wvu.edu/~mays/Papers/apf7.pdf

• Weisstein, Eric W., "Unordered Factorization", MathWorld.