நிரப்பு கணம்

கணக் கோட்பாட்டில், ஒரு கணத்தின் நிரப்பு கணம் அல்லது நிரப்பி (complement set, complement) என்பது அக்கணத்தில் இல்லாத உறுப்புகளின் கணமாகும்.

A , B என்ற இரு கணங்களை எடுத்துக் கொண்டால், B ஐப் பொறுத்து A இன் நிரப்பி என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம். இது சார் நிரப்பு கணம் எனப்படும்.

A மற்றும் தேவைக்காக எடுத்துக் கொள்ளப்பட்ட எல்லா கணங்களையும் உட்கணங்களாகக் கொண்ட கணம் U அவற்றின் அனைத்து கணம் எனப்படும். இந்த அனைத்து கணத்தைப் பொறுத்து A இன் நிரப்பு கணம் என்பது, A இல் இல்லாத ஆனால் U இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம் ஆகும். இந்த நிரப்பு கணம் தனி நிரப்பு கணம் (absolute complement) எனப்படும்.

சார் நிரப்பி

A , B இரு கணங்கள் எனில்,B ஐப் பொறுத்து A இன் சார் நிரப்பி என்பது, A இல்லாத ஆனால் B இல் உள்ள உறுப்புகளின் கணம்[1]. இக்கணம் B , A இன் கணக் கோட்பாட்டு வித்தியாசம் (set-theoretic difference) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது[2].

A (இடது வட்டம்) இன், B (வலது வட்டம்) ஐப் பொறுத்த சார் நிரப்பு கணம்:

B\cap A^{c}~~~~=~~~~B\setminus A

ISO 31-11 தரப்படி இதன் குறியீடு B ∖ A

B\setminus A=\{x\in B\,|\,x\notin A\}.

எடுத்துக்காட்டுகள்

{1,2,3} ∖ {2,3,4} = {1}
{2,3,4} ∖ {1,2,3} = {4}
If $\mathbb {R}$ மெய்யெண்களின் கணம்; $\mathbb {Q}$ விகிதமுறு எண்களின் கணம் எனில்:

\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} =\mathbb {I}

= விகிதமுறா எண்களின் கணம்.

பண்புகள்

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் சார் நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

A, B, C மூன்று கணங்கள் எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

C ∖ (A ∩ B) = (C ∖ A)∪(C ∖ B)
C ∖ (A ∪ B) = (C ∖ A)∩(C ∖ B)
C ∖ (B ∖ A) = (C ∩ A)∪(C ∖ B)

(மாற்று வழி: A ∖ (B ∖ C) = (A ∖ B)∪(A ∩ C) )

(B ∖ A) ∩ C = (B ∩ C) ∖ A = B∩(C ∖ A)
(B ∖ A) ∪ C = (B ∪ C) ∖ (A ∖ C)
A ∖ A = Ø
Ø ∖ A = Ø
A ∖ Ø = A

தனி நிரப்பி

U ஐப் பொறுத்த

A

இன் தனி நிரப்பி :

Ac = U \ A

அனைத்து கணம் $U$ வரையறுக்கப்பட்டால், $U$ இல் $A$ இன் சார் நிரப்பி கணம் $A$ இன் தனி நிரப்பி கணம் ஆகும். அதன் குறியீடு $A c$ அல்லது $A'$ . $U$ நிலையானது எனில், இந்த நிரப்பி கணம் $\complement _{U}A$ அல்லது $\complement A$ எனவும் குறிக்கப்படும்[3]:

A c = U ∖ A

.

எடுத்துக்காட்டாக, முழு எண்களின் கணத்தை அனைத்து கணமாகக் கொண்டால், ஒற்றை முழுஎண்கள் கணத்தின் நிரப்பி கணமாக இரட்டை முழுஎண்களின் கணமாகும்.

பண்புகள்

சேர்ப்பு, வெட்டு ஆகிய கணச் செயலிகளுடன் தனி நிரப்பியின் சில பண்புகள்:

$U$ இன் உட்கணங்கள் $A$ , $B$ எனில், கீழ்வரும் முற்றொருமைகள் உண்மையாகும்:

த மோர்கனின் விதி:[1]

$\left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.$
$\left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.$

நிரப்பி விதிகள்:[1]

$A\cup A^{c}=U.$
$A\cap A^{c}=\emptyset .$
$\emptyset ^{c}=U.$
$U^{c}=\emptyset .$
${\text{If }}A\subset B{\text{, then }}B^{c}\subset A^{c}.$

சுருள்வு அல்லது இரட்டை நிரப்பி விதி:

$\left(A^{c}\right)^{c}=A.$

சார் நிரப்பிக்கும் தனி நிரப்பிக்குமுள்ள தொடர்பு:

$A\setminus B=A\cap B^{c}.$
$(A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B.$

கண வித்தியாசத்துடன் தொடர்பு:

$A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.$

முதல் இரண்டு நிரப்பி விதிகளிலிருந்து,

U

இன் வெற்றற்ற, முறையான உட்கணமாக

A

இருந்தால்,

{A, A c

} என்பது

U

இன் பிரிவினை ஆகும்.

மேற்கோள்கள்

Halmos (1960) p.17
Devlin (1979) p.6
Bourbaki p. E II.6

Paul Halmos (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company.
Keith Devlin (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-387-90441-7.
Nicolas Bourbaki (1970) (in french). Théorie des ensembles. Paris: Hermann. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:978-3-540-34034-8.

வெளியிணைப்புகள்

Weisstein, Eric W., "Complement", MathWorld.
Weisstein, Eric W., "Complement Set", MathWorld.

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[H17-1] Halmos (1960) p.17

[2] Devlin (1979) p.6

[Bou-3] Bourbaki p. E II.6