ஒரு கணத்தின் பிரிவினை

X என்ற கணத்தின் பிரிவினை என்பது X இன் ஒவ்வொரு உறுப்பு x ம் ஒரேயொரு உட்கணத்தில் மட்டும் உள்ளவாறு பிரிக்கப்பட்ட X இன் வெற்றில்லா உட்கணங்களின் கணமாகும்.

பின்வரும் நிபந்தனைகளை நிறைவு செய்தால், செய்தால் மட்டுமே P என்ற கணம் X இன் பிரிவினையாக இருக்க முடியும்:

1. P இன் உறுப்புகளில் எதுவும் வெற்றுக் கணம் இல்லை.
2. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களின் ஒன்றிப்பு, X கணமாகும்.
3. P கணத்திலுள்ள உறுப்பு கணங்களில் எந்த இரு கணங்களின் வெட்டும் வெற்றுக் கணம்.

கணிதக் குறியீட்டில் இந்நிபந்தனைகள்:

1. ${\displaystyle \varnothing \notin P}$
2. ${\displaystyle \bigcup P=X}$
3. ${\displaystyle (A\in P\land B\in P\land A\neq B)\Rightarrow A\cap B=\varnothing }$

இங்கு ${\displaystyle \varnothing }$ -வெற்றுக் கணம்.

P இன் உறுப்புகள் பிரிவினையின் தொகுதிகள், பகுதிகள் அல்லது சிற்றறைகள் என அழைக்கப்படுகின்றன[1]. P இன் தரம் |X| − |P| (X முடிவுறு கணமாக இருந்தால்).

• ஒவ்வொரு ஓருறுப்பு கணத்திற்கும் ஒரேயொரு பிரிவினைதான் உண்டு.

கணம் {x} இன் ஒரேயொரு பிரிவினை { {x} }.

• வெற்றில்லா கணம் X இற்கு, P = {X} என்பது X இன் மிகஎளிய பிரிவினையாகும் (trivial partition).
• U கணத்தின் ஒரு வெற்றற்ற தகு உட்கணம் A மற்றும் அதன் நிரப்பு கணம் இரண்டும் ({A, U−A}) U இன் பிரிவினையாக அமையும்.
• { 1, 2, 3 } கணத்திற்கு 5 பிரிவினைகள் உண்டு:
  • { {1}, {2}, {3} }. இதனை 1|2|3 எனவும் எழுதலாம்.
  • { {1, 2}, {3} }, அல்லது 12|3.
  • { {1, 3}, {2} }, அல்லது 13|2.
  • { {1}, {2, 3} }, அல்லது 1|23.
  • { {1, 2, 3} }, அல்லது 123
• பின்வருபவை { 1, 2, 3 } கணத்தின் பிரிவினைகள் அல்ல:
  • { {}, {1, 3}, {2} } (இதில் ஒரு உறுப்பு வெற்றுக் கணமாக இருப்பதால்)
  • { {1, 2}, {2, 3} } ( 2, ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட பகுதிகளில் உள்ளதால்)
  • { {1}, {2} } (எந்தவொரு பகுதியிலும் 3 இல்லாததால்).

கணம் X இல் வரையறுக்கப்பட்ட சமான உறவைப் பொறுத்த சமானப் பகுதிகளின் கணம் X பிரிவினையாக அமையும். மறுதலையாக P of X இன் ஒரு பிரிவு P லிருந்து X இல் ஒரு சமான உறவை வரையறுக்கலாம்:

x , y ஆகிய இரண்டு உறுப்புகள் P இன் ஒரே பகுதியில் அமைந்தால் x ~ y. எனவே சமான உறவு மற்றும் பிரிவினை என்ற இரண்டு கருத்துக்களும் சமானமானவை.[2]

• Brualdi, Richard A. (2004). Introductory Combinatorics (4th edition ). Pearson Prentice Hall. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-13-100119-1.
• Schechter, Eric (1997). Handbook of Analysis and Its Foundations. Academic Press. பன்னாட்டுத் தரப்புத்தக எண்:0-12-622760-8.