சுற்றுக்கூம்புவெட்டு

பொதுச் சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

${\displaystyle u(-au+bv+cw):v(au-bv+cw):w(au+bv-cw)}$ .

சுற்றுக்கூம்புவெட்டுக்கு முக்கோணத்தின் உச்சிகள் A, B, C இல் தொடுகோடாக அமையும் கோடுகள்:

${\displaystyle wv+vz}$ = 0,

${\displaystyle uz+wx}$ = 0,

${\displaystyle vx+uy}$ = 0.

பொது உட்கூம்புவெட்டின் மையப்புள்ளி:

${\displaystyle cy+bz:az+cx:bx+ay}$ .

ΔABC இன் பக்கக்கோடுகள் உட்கூம்புவெட்டின் தொடுகோடுகளாக அமையும். அவற்றின் சமன்பாடுகள்:

${\displaystyle x=0,y=0,z=0}$ .

• வட்டமல்லாத ஒவ்வொரு சுற்றுக்கூம்புவெட்டும் ΔABC இன் சுற்றுவட்டத்தை A, B, C அல்லாத வேறொரு புள்ளியில் சந்திக்கும். ”நான்காம் வெட்டும் புள்ளி” என அழைக்கப்படும் இப்புள்ளியின் முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகள்:

${\displaystyle (cx-az)(ay-bx):(ay-bx)(bz-cy):(bz-cy)(cx-az)}$

• பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டின் மீதமைந்த புள்ளி P = p : q : r எனில், P இல் சுற்றுக்கூம்புவெட்டிற்குத் தொடுகோட்டின் சமன்பாடு:

${\displaystyle (vr+wq)x+(wp+ur)y+(uq+vp)z=0.}$

• ${\displaystyle u^{2}a^{2}+v^{2}b^{2}+w^{2}c^{2}-2vwbc-2wuca-2uvab=0}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும்.
• ${\displaystyle ucosA+vcosB+wcosC=0}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது சுற்றுக்கூம்புவெட்டு ஒரு செவ்வக அதிபரவளையமாகும்.

• ${\displaystyle ubc+vca+wab=0}$ என இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, பொது உட்கூம்புவெட்டு ஒரு பரவளையமாகும். இது முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தினைத் தொட்டவாறும் மற்ற இரு பக்கங்களின் நீட்சியைத் தொட்டவாறும் அமையும்.
• ${\displaystyle p_{1}:q_{1}:r_{1}}$ , ${\displaystyle p_{2}:q_{2}:r_{2}}$ இரண்டும் வேறுபட்ட புள்ளிகள்;

${\displaystyle X=(p_{1}+p_{2}t):(q_{1}+q_{2}t):(r_{1}+r_{2}t)}$ எனில்:

t இன் மெய்யெண் மதிப்புகளுக்கு X இன் இயங்குவரை ஒரு கோடாகும்.

• ${\displaystyle X^{2}=(p_{1}+p_{2}t)^{2}:(q_{1}+q_{2}t)^{2}:(r_{1}+r_{2}t)^{2}}$ என வரையறுக்கப்பட்டால், X² இன் இயங்குவரை ஒரு உட்கூம்புவெட்டாக, ஒரு நீள்வட்டமாக இருக்கும். அந்நீள்வட்டத்தின் சமன்பாடு:

${\displaystyle L^{4}x^{2}+M^{4}y^{2}+N^{4}z^{2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0.}$

இதில்:

L = q₁r₂ − r₁q₂,

M = r₁p₂ − p₁r₂,

N = p₁q₂ − q₁p₂.

• முக்கோணத்தின் உட்புறமுள்ள ஒரு புள்ளியானது அம்முக்கோணத்தின் நடுப்புள்ளி முக்கோணத்தினுள் இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அந்தப் புள்ளி மூலமுக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டத்தின் மையப்புள்ளியாக இருக்க முடியும்.[3]^:p.139 நடுப்புள்ளி முக்கோணத்துக்குள் அமையும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் தனித்துவமானது.[3]^:p.142 அதாவது அத்தகைய உள்நீள்வட்டம் ஒன்றேயொன்றுதான் இருக்கும்.
• முக்கோணத்தின் நடுக்கோட்டுச்சந்தியை மையமாகக் கொண்ட உள்நீள்வட்டம் ”நடுப்புள்ளி நீள்வட்டம்” என அழைக்கப்படும். ஒரு முக்கோணத்தின் உள்நீள்வட்டங்களிலேயே அதிகவளவு பரப்பளவு கொண்ட இந்த நீள்வட்டம் ஸ்டெயினர் உள்நீள்வட்டம் அழைக்கப்படுகிறது.[3]^:p.145

${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma )}$ உள்நீள்வட்ட மையத்தின் ஈர்ப்புமைய ஆயதொலைவுகள் எனில்[3]^:p.143:

${\displaystyle {\frac {\text{Area of inellipse}}{\text{Area of triangle}}}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},}$

• உள்நீள்வட்டமானது முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொடும்புள்ளிகளையும் அந்தந்த புள்ளிகளுக்கான முக்கோணத்தின் எதிர் உச்சிகளையும் இணைக்கும் கோடுகள் ஒருபுள்ளியில் சந்திக்கின்றன.[3]^:p.148