ஒன்பது-புள்ளி வட்டம்

மேலுள்ள படத்தில், ABC என்னும் முக்கோணத்தை எடுத்துக்கொண்டால், அதன் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் குறிப்பிட்ட 9 புள்ளிகள் காட்டப்பட்டுள்ளன.

• D, E, மற்றும் F - முக்கோணத்தின் மூன்று பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகள்
• G, H, மற்றும் I - முக்கோணத்தின் மூன்று குத்துக்கோடுகளின் அடிகள்
• J, K, மற்றும் L - முக்கோணத்தின் செங்குத்துமையத்தையும் (S) ஒவ்வொரு குத்துக்கோட்டின் முக்கோண உச்சியையையும்(A, B, C) இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகள்.

ஒரு குறுங்கோண முக்கோணத்திற்கு முதல் ஆறு புள்ளிகளும் முக்கோணத்தின் மேல் அமையும். ஒரு விரிகோண முக்கோணத்திற்கு இரு குத்துக்கோடுகளின் அடிகள் முக்கோணத்திற்கு வெளியே அமையும். எனினும் அவை இரண்டும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீதும் அமையும்.

ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது கார்ல் வில்லெம் ஃபோயர்பாக்கின் கண்டுபிடிப்பாகக் கருதப்பட்டாலும், ஒன்பது புள்ளிகளும் அவரால் அடையாளம் காணப்படவில்லை. முதல் ஆறு புள்ளிகள் (படத்தில் D, E, F, G, H, I-புள்ளிகள்.) மட்டுமே அவரது கண்டுபிடிப்பாகும். (இதற்குச் சிலநாட்களுக்கு முன்பாக, சார்லஸ் பிரியான்கோன் மற்றும் ஜான் விக்டர் போன்ஸ்லெட் இருவரும் இத்தேற்றத்தை நிறுவியிருந்தனர்.) ஃபோயர்பாக்கைத் தொடர்ந்து கணிதவியலாளர் ஓர்லி டெர்க்கெம் இவ்வட்டம் இருப்பதை நிறுவினார். இவர்தான் கடைசி மூன்று புள்ளிகள் (படத்தில் J, K, L-புள்ளிகள்) இவ்வட்டத்தின் மீது உள்ளதை முதலில் கண்டுபிடித்ததார். இவ்வட்டத்திற்கு ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் எனப் பெயரிட்டதும் டெர்க்கெம்தான்.

ஒன்பது-புள்ளி வட்டம் முக்கோணத்தின் உள்வட்டத்தையும் வெளிவட்டத்தையும் தொடுகிறது

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது, அம்முக்கோணத்தின் மூன்று வெளிவட்டங்களை வெளிப்புறமாகவும் உள்வட்டத்தை உட்புறமாகவும் தொடும் எனவும் 1822 -ல் கார்ல் ஃபோயர்பாக் கண்டு பிடித்தார். இக்கண்டுபிடிப்பு ஃபோயர்பாக் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.

அத்தேற்றத்தின் கூற்று:

… ஒரு முக்கோணத்தின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகளின் வழியாகச் செல்லும் வட்டமானது, முக்கோணத்தின் பக்கங்களைத் தொட்டுக்கொண்டு அமையும் உள்வட்டம் மற்றும் மூன்று வெளிவட்டங்களைத் தொடுகிறது... (Feuerbach 1822)

உள்வட்டமும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமும் தொட்டுக்கொள்ளும் புள்ளியானது ஃபோயர்பாக் புள்ளி என அழைக்கப்படுகிறது.

• ஒரு முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டத்தின் ஆரமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் ஆரத்தைப்போல் இருமடங்காகும்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியிலிருந்து அதன் சுற்றுவட்டத்தின் மேல் அமையும் எந்தவொரு புள்ளியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டை அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது இருசமக்கூறிடும்.

• ஒரு முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் அம்முக்கோணத்தின் செங்குத்துச்சந்தியையும் சுற்றுவட்டமையங்களையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டின் நடுப்புள்ளியில் அம்முக்கோணத்தின் ஆய்லரின் கோட்டைச் சந்திக்கிறது.

• ஒரு முக்கோணத்தின் மூன்று உச்சிகள் மற்றும் அதன் செங்குத்துச்சந்தி ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையமானது, அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையமாக அமைகிறது.

• ஒன்பது புள்ளிகளில், முக்கோணத்தின் உச்சிகளையும் செங்குத்துச்சந்தியையும் இணைக்கும் கோட்டுத்துண்டுகளின் நடுப்புள்ளிகளானவை ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையத்தைப் பொறுத்து, அம்முக்கோணத்தின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளின் பிரதிபலிப்புகளாகும். (reflections)

• முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் வழியாகச் செல்லும் அனைத்து செவ்வக அதிபரவளையங்களின் (rectangular hyperbolas) மையங்களும் அம்முக்கோணத்தின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மீது அமையும். இந்த விவரமானது ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றம் (Feuerbach conic theorem) என அழைக்கப்படுகிறது.

இத்தேற்றத்திற்கான எடுத்துக்காட்டுக்களில் கைபெர்ட், ஜெராபெக், ஃபோயர்பாக்கின் செவ்வக அதிபரவளையங்களும் அடங்கும்.

• A, B, C H ஆகிய நான்கு புள்ளிகளாலான செங்குத்துச்சந்தி தொகுதி தரப்பட்டிருந்தால் இவை நான்கிலிருந்து எந்த மூன்று புள்ளிகளையும் கொண்டு அமைக்கப்படும் நான்கு முக்கோணங்களுக்கும் ஒன்பது-புள்ளி வட்டமானது ஒரே வட்டமாக அமையும். இதன் விளைவாக இந்த நான்கு முக்கோணங்களின் சுற்றுவட்டங்களின் ஆரங்கள் சமமாக இருக்கும்.

இந்தப் பொது ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் மையம் N எனில்:

${\displaystyle NA^{2}+NB^{2}+NC^{2}+NH^{2}=3R^{2}.\,}$ இங்கு R - சுற்றுவட்டங்களின் சமஆரம்.

P - செங்குத்துமையத் தொகுதியின் தளத்தில் அமையும் ஏதேனும் ஒரு புள்ளி மற்றும் ${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PH^{2}=K^{2},\,}$ (இங்கு K மாறிலியாக வைக்கப்படுகிறது) எனில்:

P-இன் இயங்குவரை N -ஐ மையமாகவும்; ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {K^{2}-3R^{2}}}\,}$ ஆரமும் கொண்ட ஒரு வட்டமாகும்.

P - ஆனது N -ஐ அணுகும்போது அதற்குரிய K -இன் மதிப்பிற்கு P -இன் இயங்குவரையானது, ஒன்பது-புள்ளி வட்டமையம் N -ஆகிவிடும்.

${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}+PH^{2}=4R^{2},\,}$ எனில் P -ன் இயங்குவரையானது ஒன்பது-புள்ளி வட்டமாக அமையும்:

• ஒரு முக்கோணத்தின் உள்வட்டமையமும், மூன்று வெளிவட்ட மையங்களும் ஒரு செங்குத்துச்சந்தித் தொகுதியை அமைக்கும். இத்தொகுதியின் ஒன்பது-புள்ளிவட்டம் அம்முக்கோணத்தின் சுற்றுவட்டமாக அமையும். இத்தொகுதியிலுள்ள நான்கு முக்கோணங்களின் குத்துக்கோடுகளின் அடிகள் எடுத்துக்கொள்ளப்பட்ட முதல் முக்கோணத்தின் உச்சிகளாக அமையும்.

• A, B, C, D ஆகிய நான்கு புள்ளிகளும் ஒரு செங்குத்துமையத் தொகுதியை அமைக்காவிடில், ABC, BCD, CDA, DAB என்ற முக்கோணங்களின் ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்கள் ஏழு புள்ளிகளில் ஒன்றையொன்று வெட்டிக்கொள்கின்றன. இவற்றுள் ஒரு புள்ளி மொத்தமுள்ள நான்கு ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களுக்கும் பொதுவான வெட்டும் புள்ளியாக இருக்கும். மீதமுள்ள ஆறு வெட்டும் புள்ளிகள், நான்கு முக்கோணங்களின் பக்கங்களின் நடுப்புள்ளிகளோடு ஒன்றுபடும். A, B, C, D ஆகிய நான்கு புள்ளிகளின் திணிவு மையத்தை மையமாகக்கொண்டு, ஏழு வெட்டும் புள்ளிகளின் வழியாகச் செல்லும் ஒரு ஒன்பது-புள்ளி தனித்த கூம்புவெட்டு ஒன்று உள்ளது. மேலும் ஃபோயர்பாக் கூம்புவெட்டுத் தேற்றத்தின்படி, நான்கு, ஒன்பது-புள்ளி வட்டங்களின் பொது வெட்டும் புள்ளியை மையமாகக் கொண்ட தனித்த ஒரு செவ்வக அதிபரவளையம் அமையும். இந்த செவ்வக அதிபரவளையமானது மேலே தரப்பட்ட நான்கு முக்கோணங்களின் செங்குத்து மையங்களின் வழியாகச் செல்லும்.

• முந்நேரியல் ஆயதொலைவுகளில்:
• ஒன்பது-புள்ளிவட்டத்தின் மையம்:

cos (B − C) : cos (C − A) : cos (A − B)

• ஃபோயர்பாக் புள்ளி:

1 − cos (B − C) : 1 − cos (C − A) : 1 − cos (A − B)

• கைபெர்ட் அதிபரவளையத்தின் மையம்:

(b² − c²)²/a : (c² − a²)²/b : (a² − b²)²/c

• ஜெராபெக் அதிபரவளையத்தின் மையம்:

cos A sin²(B − C) : cos B sin²(C − A) : cos C sin²(A − B)

• x : y : z -ஒரு மாறும் புள்ளி எனில் ஒன்பது-புள்ளி வட்டத்தின் சமன்பாடு:

x²sin 2A + y²sin 2B + z²sin 2C − 2(yz sin A + zx sin B + xy sin C) = 0.

• Feuerbach, Karl (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren.

• Encyclopedia of Triangles Centers by Clark Kimberling. The nine-point center is indexed as X(5), the Feuerbach point, as X(11), the center of the Kiepert hyperbola as X(115), and the center of the Jeřábek hyperbola as X(125).
• History about the nine-point circle based on J.S. MacKay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
• Eric W. Weisstein, Nine-Point Circle MathWorld இல்.
• Eric W. Weisstein, Orthopole MathWorld இல்.
• Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
• Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
• Special lines and circles in a triangle by Walter Fendt (requires Java)
• An interactive Java applet showing several triangle centers that lies on the Nine Point Circle.
• Interactive Nine Point Circle applet from the Wolfram Demonstrations Project
• Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.