சு. சி. பிள்ளை

எண் கோட்பாட்டில் வாரிங் பிரச்சினையைப் பற்றிய ஒரு முக்கியமான கண்டுபிடிப்பைச் செய்து சரித்திரம் படைத்தார். 1909இல் டேவிட் ஹில்பர்ட் வாரிங் பிரச்சினையைப் பற்றிய ஓர் அடிப்படைத் தேற்றத்தை நிறுவினார்.

ஹில்பர்ட்-வாரிங் தேற்றம்: ஒவ்வொரு நேர்ம முழு எண் ${\displaystyle k}$ க்கும் ${\displaystyle g(k)}$ என்ற ஒரு மீச்சிறு நேர்ம முழு எண் கீழுள்ள பண்புடன் இருக்கும்:

எந்த நேர்ம முழு எண்ணையும் ${\displaystyle g(k)}$ எண்ணிக்கை கொண்ட ${\displaystyle k}$ - அடுக்குகளின் கூட்டுத் தொகையாகக் காட்டலாம். அதாவது, எத்தனை குறைந்த எண்ணிக்கை கொண்ட k-அடுக்குகளின் கூட்டுத்தொகையாக எல்லா முழுஎண்களையும் சொல்லமுடியுமோ அந்த எண்ணிக்கை ${\displaystyle g(k)}$யாகும்.

எடுத்துக்காட்டாக, g(2) = 4. அதாவது, எந்த எண்ணையும் நான்கு எண்ணிக்கைக்கு அதிகமில்லாத எண்களின் வர்க்கங்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் காட்டலாம். குறிப்பாக

27 = 16 + 9 + 1 + 1

32 = 16 + 16

77 = 36 + 36 + 4 + 1

200 = 100 + 64 + 36

1770 இலேயே (லாக்ரான்சி) ${\displaystyle g(2)=4}$ என்பது தெரியும். 1910 இலிருந்து ${\displaystyle g(3)=9}$ என்பதும் தெரியும்.

பிள்ளையின் கண்டுபிடிப்பு: (1936). 7 அல்லது 7 க்கு மேலுள்ள எல்லா ${\displaystyle k}$ க்கும், ${\displaystyle g(k)=}$ ${\displaystyle 2}$^k + ${\displaystyle l-2}$; இங்கு, ${\displaystyle l}$ என்பது ${\displaystyle (3/2)}$^kஐ விட பெரியதல்லாத மீப்பெரு முழு எண். ${\displaystyle k=6}$ என்ற பட்சத்திலும் 1940 இல் இன்னும் கடினமான ஒரு முறையில் ${\displaystyle g(6)=73}$ என்றும் கணித்தார்.

அவர் கண்டுபிடித்த ஒருவித பகா எண்களுக்கு பிள்ளை பகா எண்கள் என்ற பெயர் நிலைத்துவிட்டது. பகாஎண் ${\displaystyle p}$ கீழ்வரும் பண்பை உடையதாக இருந்தால் அது பிள்ளை பகா எண் எனப்படும்:

ஒரு நேர்ம முழு எண் இருக்கவேண்டும். அது சரி செய்ய வேண்டிய சமன்பாடுகள்:

(*) ${\displaystyle n!=-1modp}$

${\displaystyle p\neq 1modn}$

இதன் பொருள்: ${\displaystyle n!}$, ${\displaystyle p}$இன் ஏதோ ஒரு மடங்கை விட ஒன்று குறைவு. மற்றும், ${\displaystyle p-1}$, ${\displaystyle n}$இன் எந்த மடங்காவும் இருக்காது.

எடுத்துக்காட்டாக, ${\displaystyle 79}$ ஒரு பிள்ளை பகா எண். ஏனென்றால்,

${\displaystyle 23!+1,}$ ${\displaystyle 79}$ ஆல் சரியாக வகுபடுகிறது. மற்றும், ${\displaystyle 78,}$ ${\displaystyle 23}$இன் எந்த மடங்கும் இல்லை. ஆக, ${\displaystyle 79}$ க்குகந்ததாக ${\displaystyle 23}$ என்ற் ${\displaystyle n}$ உள்ளது.

முதல் ${\displaystyle 39}$ பிள்ளை பகா எண்கள்:

${\displaystyle 23,29,59,61,67,71,79,83,109,137,139,149,193,227,233,239,251,257,269,271,277,293,307,311,317,359,379,383,389,397,}$

${\displaystyle 401,419,431,449,461,463,467,479,499}$

இத்தொடர் முடிவில்லாதது என்று எர்டாஷ், சுப்பராவ், ஹார்டி முதலியவர்கள் கண்டுபிடித்திருக்கிறார்கள்[1].